数据结构与算法分析再读之引论和算法分析

来源：互联网发布：linux 退出编辑：程序博客网时间：2024/06/01 09:18

本章由两个问题引开，并证明了一些算法基础的数学公式。

1. 两个问题

a. 求N个数中的前K个最大值问题。从全部排序法，到维持一个K个元素的数组方法，再到2叉堆法，一步一步说明算法重要性。

b. 字谜问题。

2. 数学公式

指数问题，对数问题，级数和问题。

3. 一些数学证明方法

a.数学归纳法。两要素：基准情形成立，当n=N成立时，n=N+1也成立，得证。

b.递归方法。两要素：停止条件，不断推进

4. 大O表示法

单循环为O(N),嵌套两层为O(N2),分治2分为logN. 斐波拉契为（5/3)N次方

例子：最大子序列最大和问题的求解。

穷举法，穷举所有数列，2分法还有一个用技巧的O(N)算法。代码如下：

#include <stdio.h>int maxSubSeqence(const int A[],unsigned int n){    int i,j,k=0;    int sum,maxsum=0;    for(i=0;i<n;i++)        for(j=i;j<n;j++)        {            sum =0;            for(k=i;k<=j;k++)                sum = sum + A[k];            if (sum>maxsum)                maxsum = sum ;        }    return maxsum;}int maxSubSeqence2(const int A[],unsigned int n){    int i,j,k=0;    int sum,maxsum=0;    for(i=0;i<n;i++)    {        sum =0;        for(j=i;j<n;j++)        {            sum = sum + A[j];            if (sum>maxsum)                maxsum = sum ;        }    }    return maxsum;}int maxSubSeqence3(const int A[],int begin, int end){    if (begin==end)    {        if (A[begin]>0)            return A[begin];        else            return 0;    }    int middle =(begin+end)/2;    int leftsum,rightsum;    leftsum = maxSubSeqence3(A,begin,middle);    rightsum = maxSubSeqence3(A,middle+1,end);    int maxleftbordersum=0,maxrightbordersum=0, bordersum=0;    int i;    for(i = middle+1;i<=end; i++)    {        bordersum = bordersum+ A[i];        if (bordersum>maxrightbordersum)            maxrightbordersum = bordersum;    }    bordersum =0;    for(i = middle;i>=begin; i--)    {        bordersum = bordersum+ A[i];        if (bordersum>maxleftbordersum)            maxleftbordersum = bordersum;    }    int max = leftsum;    if (max<rightsum)        max =rightsum;    if (max<maxleftbordersum+maxrightbordersum)        max =maxleftbordersum+maxrightbordersum;    return max;}int maxSubSeqence4(const int A[],int n){    int i=0,max =0;    int sum=0;    for (i=0;i<n;i++)    {        sum=sum+A[i];        if(sum>max)            max= sum;        if(sum<0)            sum =0;    }    return max;}int main(){   int A[] = {1,-3, 9,2,1, -10,6,-7,8} ;   int maxsum = maxSubSeqence(A,sizeof(A)/sizeof(int));   printf("maxsum=%d\n",maxsum);   int maxsum2 = maxSubSeqence2(A,sizeof(A)/sizeof(int));   printf("maxsum2=%d\n",maxsum2);   int maxsum3 = maxSubSeqence3(A,0,sizeof(A)/sizeof(int)-1);   printf("maxsum3=%d\n",maxsum3);   int maxsum4 = maxSubSeqence4(A,sizeof(A)/sizeof(int));   printf("maxsum4=%d\n",maxsum4);   return 0;}

logN的算法欧几里得求解最大公约数：

#include <stdio.h>int gcd(int m, int n){    while(n>0)    {        int rem = m%n;        m = n;        n = rem;    }    return m;}int main(){    int m = 1345, n = 9745;    printf("gcd = %d\n", gcd(m,n));}~

求x的N次方运算：

#include <stdio.h>int power(int x,int n){    if (n==0)        return 1;    if (n==1)        return x;    if (n%2==0)        return power(x*x,n/2);    else        return power(x*x,(n-1)/2)* x;}int main(){    int m = power(2,10);    printf("power 2,10=%d\n", m);}

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