Dijkstra算法

来源：互联网发布：淘宝订单导出excel 编辑：程序博客网时间：2024/05/16 10:57

     单源最短路径问题，即在图中求出给定顶点到其它任一顶点的最短路径。在弄清楚如何求算单源最短路径问题之前，必须弄清楚最短路径的最优子结构性质。一.最短路径的最优子结构性质   该性质描述为：如果P(i,j)={Vi....Vk..Vs...Vj}是从顶点i到j的最短路径，k和s是这条路径上的一个中间顶点，那么P(k,s)必定是从k到s的最短路径。下面证明该性质的正确性。   假设P(i,j)={Vi....Vk..Vs...Vj}是从顶点i到j的最短路径，则有P(i,j)=P(i,k)+P(k,s)+P(s,j)。而P(k,s)不是从k到s的最短距离，那么必定存在另一条从k到s的最短路径P'(k,s)，那么P'(i,j)=P(i,k)+P'(k,s)+P(s,j)<P(i,j)。则与P(i,j)是从i到j的最短路径相矛盾。因此该性质得证。二.Dijkstra算法   由上述性质可知，如果存在一条从i到j的最短路径(Vi.....Vk,Vj)，Vk是Vj前面的一顶点。那么(Vi...Vk)也必定是从i到k的最短路径。为了求出最短路径，Dijkstra就提出了以最短路径长度递增，逐次生成最短路径的算法。譬如对于源顶点V0，首先选择其直接相邻的顶点中长度最短的顶点Vi，那么当前已知可得从V0到达Vj顶点的最短距离dist[j]=min{dist[j],dist[i]+matrix[i][j]}。根据这种思路，假设存在G=<V,E>，源顶点为V0，U={V0},dist[i]记录V0到i的最短距离，path[i]记录从V0到i路径上的i前面的一个顶点。1.从V-U中选择使dist[i]值最小的顶点i，将i加入到U中；2.更新与i直接相邻顶点的dist值。(dist[j]=min{dist[j],dist[i]+matrix[i][j]})重点是这句：d[j]=min【d[j]，d[i]+w[i,j]】 这个意思。纳入开始集合中，就不断更新到另外一个集合其他节点的距离，然后继续选个小的3.直到U=V，停止

<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">参考文章：http://www.cnblogs.com/dolphin0520/archive/2011/08/26/2155202.html</span></span>

package first;

public class MatrixUDG {    private int mEdgNum;        // 边的数量    private char[] mVexs;       // 顶点集合    private int[][] mMatrix;    // 邻接矩阵    private static final int INF = Integer.MAX_VALUE;   // 最大值       /*     * 创建图(用已提供的矩阵)     *     * 参数说明：     *     vexs  -- 顶点数组     *     matrix-- 矩阵(数据)     */    public MatrixUDG(char[] vexs, int[][] matrix) {                // 初始化"顶点数"的长度        int vlen = vexs.length;        // 新建一个数组存顶点        mVexs = new char[vlen];        for (int i = 0; i < mVexs.length; i++)            mVexs[i] = vexs[i];        // 新建一个二维数组，存初始化"边"的权值        mMatrix = new int[vlen][vlen];        for (int i = 0; i < vlen; i++)            for (int j = 0; j < vlen; j++)                mMatrix[i][j] = matrix[i][j];       }      /* 参数说明：    *       vs -- 起始顶点(start vertex)。即计算"顶点vs"到其它顶点的最短路径。    *     prev -- 前驱顶点数组。即，prev[i]的值是"顶点vs"到"顶点i"的最短路径所经历的全部顶点中，位于"顶点i"之前的那个顶点。    *     dist -- 长度数组。即，dist[i]是"顶点vs"到"顶点i"的最短路径的长度。    */    public void dijkstra(int vs, int[] prev, int[] dist) {        // flag[i]=true表示"顶点vs"到"顶点i"的最短路径已成功获取        boolean[] flag = new boolean[mVexs.length];                // 初始化        for (int i = 0; i < mVexs.length; i++) {            flag[i] = false;          // 顶点i的最短路径还没获取到。            prev[i] = 0;              // 顶点i的前驱顶点为0。            dist[i] = mMatrix[vs][i];  // 顶点i的最短路径为"顶点vs"到"顶点i"的权。        }        // 对"顶点vs"自身进行初始化        flag[vs] = true;        dist[vs] = 0;        // 遍历mVexs.length-1次；每次找出一个顶点的最短路径。        int k=0;        for (int i = 1; i < mVexs.length; i++) {            // 寻找当前最小的路径；            // 即，在未获取最短路径的顶点中，找到离vs最近的顶点(k)。            int min = INF;            for (int j = 0; j < mVexs.length; j++) {                if (flag[j]==false && dist[j]<min) {                    min = dist[j];                    k = j;                }            }            // 标记"顶点k"为已经获取到最短路径            flag[k] = true;            // 修正当前最短路径和前驱顶点            // 即，当已经"顶点k的最短路径"之后，更新"未获取最短路径的顶点的最短路径和前驱顶点"。            for (int j = 0; j < mVexs.length; j++) {                int tmp = (mMatrix[k][j]==INF ? INF : (min + mMatrix[k][j]));                if (flag[j]==false && (tmp<dist[j]) ) {                    dist[j] = tmp;                    prev[j] = k;                }            }        }        // 打印dijkstra最短路径的结果        //vs 起点，i终点，dist[i]=距离        System.out.printf("dijkstra(%c): \n", mVexs[vs]);        for (int i=0; i < mVexs.length; i++)            System.out.printf("  shortest(%c, %c)=%d\n", mVexs[vs], mVexs[i], dist[i]);    }    public static void main(String[] args) {        char[] vexs = {'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};        int matrix[][] = {                 /*A*//*B*//*C*//*D*//*E*//*F*//*G*/          /*A*/ {   0,  12, INF, INF, INF,  16,  14},          /*B*/ {  12,   0,  10, INF, INF,   7, INF},          /*C*/ { INF,  10,   0,   3,   5,   6, INF},          /*D*/ { INF, INF,   3,   0,   4, INF, INF},          /*E*/ { INF, INF,   5,   4,   0,   2,   8},          /*F*/ {  16,   7,   6, INF,   2,   0,   9},          /*G*/ {  14, INF, INF, INF,   8,   9,   0}};              MatrixUDG pG = new MatrixUDG(vexs, matrix);        int[] prev = new int[pG.mVexs.length];        int[] dist = new int[pG.mVexs.length];        // dijkstra算法获取"第4个顶点"到其它各个顶点的最短距离        pG.dijkstra(5, prev, dist);    }}

参考文章：http://www.cnblogs.com/skywang12345/p/3711516.html

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