数据结构之树

一、树的基本概念

树（Tree）是元素的集合，树有多个节点可以存储元素

二、二叉树

每个节点最多有两个子节点的树称为二叉树；常用来做二分查找（Binary Search）等

三、B树

即二叉搜索树（Binary Search Tree），是一种特殊形态的二叉树

1、所有节点最多拥有2个子节点

2、所有节点存储一个关键字

3、非叶子节点的左指针指向小于其关键字的子树，右指针指向大于其关键字的子树

B树从根节点开始查找，如果查询关键字等于节点则命中。否则，如果查询关键字小于节点关键字则进入左子树查找，如果查询关键字大于节点关键字则进入右子树查找；如果左或右子树指针为空，则表示没有找到匹配的结果。

如果B树的所有非叶子节点左右子树节点数目差不多（平衡），则B树的查找性能逼近二分查找。但它比连续内存空间的二分查找的优点是改变B树结构（插入或删除节点）不需要移动大段内存数据，通常是常熟开销。

但B树在经过多次插入或删除节点后会导致不同的结果，即不再平衡

四、平衡二叉树

平衡二叉树即是在B树的基础上添加了平衡算法，使其保持良好的查询性能

五、其他衍生B树

B-树、B+树、B*树都是多路搜索树，其中B+树是B-树的变体，B*树是B+树的变体

B-树是专门进行查找的多叉树，指针数量为关键字数加1，所有关键字只出现一次，非叶子节点可命中，性能相当于二分查找，避免了失平衡问题，但需要节点分裂和合并

1、B-树

1）所有非叶子节点最多有M个子节点；且M > 2

2）根节点的子节点数目为[2, M]，非根非叶子节点的子节点数目为[M/2, M]

3）每个节点存放关键字的数量为M/2 -1（向上取整）到 M-1个（最少2个）

4）非叶子节点关键字个数 = 指向子节点指针个数 - 1

5）非叶子节点的关键字K[1]...K[M-1]，且K[i] < K[i + 1]

6）非叶子节点的指针P[1]...P[M]，P[1]指向关键字小于K[1]的子节点，P[M]指向关键字大于K[M - 1]的子节点；其他P[i]指向关键字属于(K[i-1],K[i])的子节点

7）所有叶子节点位于同一层

一颗三路B-树

B-树从根节点开始搜索，对节点内关键字（有序）序列进行二分查找，如果命中则结束；否则进入查询关键字所属范围的子节点；重复；直到所对应的子节点指针为空或已经是叶子节点

鉴于以上的定义使得B-树具有以下特性：

1）关键字集合分布在整棵树中

2）任何关键字出现且只出现在一个节点中

3）搜索有可能在非叶子节点结束

4）搜索性能等价于在关键字全集内做一次二分查找

5）自动层次控制

由于除根以外的非叶子节点至少有M/2个子节点，能够确保节点的最低利用率，最差搜索性能为：

说明：M为最大子节点个数，N为关键字总数；可以看出B-树的查询性能与二分查找相同，都为O(log2n)，与M值无关，也没有B树的平衡问题；但是由于M/2的限制，在插入或删除节点时需要对节点进行拆分或者合并操作

2、B+树

B+树是B-树的变体，指针数量与关键字数量相等，同一关键字可能出现多次，所有关键字都在叶子节点出现，并通过链表连接，适合文件系统

B+树的定义与B-树基本相同，除了：

1）非叶子节点的子节点个数与关键字个数相等

2）非叶子节点指针P[i]指向关键字属于[K[i], K[i+1]]的子节点（与B-树不同，B-树是开区间）

3）所有关键字都在叶子节点出现，并且所有叶子节点都含有一个链指针

例：最大子节点为3的B+树

B+树搜索与B-树相同，但是只在叶子节点才命中，性能也等价于一次二分查找

B+树的特性：

1）所有关键字都在叶子节点的链表中（稠密索引），而且是关键字有序的

2）不可能在非叶子节点命中

3）非叶子节点相当于叶子节点的索引（稀疏索引），叶子节点相当于存储数据（关键字）的数据层

4）适合文件索引系统

3、B*树

B*树是B+树的变体，在非根和非叶子节点层增加指向兄弟的指针，同时定义非叶子节点关键字个数至少为(2/3)M，即块的最低使用率为2/3（B+树为1/2）

分裂对比：

B+树：分配新节点时，将1/2的数据拷贝至新节点，在父节点中添加新节点的指针

B*树：先确定兄弟节点是否已满 (1) 如不满则先移动一部分数据到兄弟节点，再添加新关键字，最后修改父节点中的兄弟节点关键字；(2)如兄弟节点已满，则分配新的节点，并从自身和兄弟节点各移动1/3的数据到新节点，最后在父节点中添加新节点指针

相对于B+树，B*树通过兄弟节点的指针进一步提高空间利用率，并且降低了分配新节点的概率；但是操作相对复杂一些

简单小结：

B树：二叉树，每个结点只存储一个关键字，等于则命中，小于走左结点，大于走右结点；性能基本上等于二分查找，有失平衡问题
B-树：多路搜索树，每个结点存储M/2到M个关键字，非叶子结点存储指向关键字范围的子结点；所有关键字在整颗树中出现，且只出现一次，非叶子结点可以命中；二分查找性能
B+树：在B-树基础上，为叶子结点增加链表指针，所有关键字都在叶子结点中出现，非叶子结点作为叶子结点的索引；B+树总是到叶子结点才命中；二分查找性能
B*树：在B+树基础上，为非叶子结点也增加链表指针，将结点的最低利用率从1/2提高到2/3；同样是二分查找性能