lie group and computer vision : 李群、李代数在计算机视觉中的应用

在多视角几何中，特别是在一些恢复相机运动轨迹的模型中，我们需要将相机的旋转和平移表示出来。通常情况下，我们都是在欧几里得空间中用R和t来进行相应的运算得到相机轨迹。然而，在很多论文中，作者们却喜欢用Lie algebrase(3)、so(3) 以及 Lie group SE(3)、SO(3) 之类的表示。紧接着，出现了很多术语，比如twist, tangent space，也出现了一些运算，比如exp(),log()之类的，看得我是云里雾里。

   比如下面这个公式， 是由三个角速度组成的向量，表示对应的旋转矩阵， 表示由三个角速度组成的反对称矩阵（skew-symmetric matrix）。 

自然要问为啥通过指数运算能够把角速度映射到旋转矩阵，它的背后又有什么样的物理意义，这中间是否有一些尽量直观的解释。

   本篇博客将从最基础的内容出发，用直观的容易理解的方式对旋转矩阵和李代数之间的关系进行推导，如有错误，请指出，希望共同进步。

预备知识：

   在进入正题之前，我们先需要复习下向量叉积（cross product），以及反对称矩阵(skew symmetric matrix)，在计算机视觉中最初遇到这些概念应该是在求解本征矩阵时，然而，他们在沟通刚体变换矩阵和李代数之间扮演着十分重要的作用。 
  对给定的两个三维实数向量，它们的叉积可以通过下面的公式计算出来： 

叉积有如下性质： 
这说明通过叉积运算得到的结果实际上是一个垂直于u,v 平面的向量。 
  这种两个向量的运算可以通过一个矩阵来表示，即  其中 是一个3*3的实数矩阵： 
注意向量u上带一个帽子表示的是由它构成的反对称矩阵。同时由这个矩阵也很容易看出有 请记住这个性质。并且任意一个3*3的反对称矩阵，我们能够找到一个三维向量和它对应。 
  至于什么是刚体变换，什么是旋转矩阵，旋转矩阵有哪些性质这些更基础的知识在这里不再一一补充。 

下面的内容中，都是基于3维空间，所以没有特别说明时，所说的旋转矩阵都是3*3的，平移向量也是3维的。并且所有向量上带一个帽子的表示的是它的反对称矩阵形式。

旋转矩阵与 so(3)：

  我们知道对于旋转矩阵，旋转矩阵本身乘以它的转置等于单位矩阵：

对上式求导可以得到： 
  (1)这个1式推得的结果不正好满足反对称矩阵的性质吗？因此肯定存在一个三维向量，使得该向量组成的反对称矩阵满足：
 (2)对2式中两边各右乘一个旋转R(t)，得到： 
 (3)这个等式是不是很熟悉？一个变量的导数等于它本身再乘以一个系数。Bingo,是他是他就是他，我们高斯微积分中熟悉的指数！ 
  在介绍我们期待已久的指数映射前，先挖掘挖掘(3)式的一些含义。如果初始时刻，那么有。那么在单位矩阵附近的一个旋转矩阵，我们能用一阶导来近似得到： 
这是不是有点类似于速度位移之类的。我们把所有的这些反对称矩阵集合起来就组成了一个所谓的李代数Lie algebraso(3) : 
而把所有的旋转矩阵集合起来呢，就有了一个所谓的李群Lie group SO(3) 注意是大写： 
上式中的约束表示R是旋转矩阵。由前面的推导公式三知道如果R是单位矩阵，那它的导数就是一个反对称矩阵，所以只有反对称矩阵组成的空间，即 so(3)，我们称之为在在单位矩阵处的正切空间tangent space.为什么称为正切呢？回忆二维曲线在某处的导数是一条切线。对于这个三维球面，那么它的导数应该是个切面。如下图所示，图片来源于tangent space 的 wiki： 
可是对于那些不是单位矩阵的旋转矩阵R该怎么找在他们位置处的正切空间呢？由公式3我们知道，在反对称矩阵的右边乘以R就能够得到R的导数，所以在非单位矩阵的R处的正切空间就是反对称矩阵乘以R就行了。

指数映射：

  回到公式(3)，把旋转矩阵R用x替换掉，如下：

求微分方程得到：其中是矩阵的指数映射:) (4)好了，此时我们假设R(0)=I，即单位矩阵，就可以得到： 
 (5)当然可以验证验证这个指数是不是旋转矩阵: 
所以，我们能够说指数映射将so(3)映射到了SO(3)：也就是说找了一个通道，它将切平面上的一点可以映射到球面体上去。但是，指数还带一个矩阵这不好算吧，没关系，马上带来Rodrigues formula for rotation matrix。首先反对称矩阵有如下性质： 
此时指数映射的泰勒展开式(4)式能够整理成如下形式：注意公式中两个括号里面的内容，他们就是sin(t)和(1-cost(t))，其实这种形式的推导在欧拉方程那里也见到过。最后得到：  当然，对于任意的旋转矩阵，我们也能够找到一组对应的w,t： 

刚体变换和SE(3)：

  前面还只说了旋转，实际上刚体变换还有平移。所以，和只有旋转矩阵构成的李群SO(3) 一样，我们也可以有由刚体变换得到的李群SE(3) :

和之前的推导一样，我们可以对如下的刚体变换矩阵求导：对这个矩阵的每部分进行分析可知，存在一个反对称矩阵和三维向量使得下面两式成立： 
即可以得到：所以，我们可以和反对称矩阵一样，定一个矩阵，注意这里这个帽子不代表反对称矩阵了： 
接着我们就能得到： 
这和之前的推导太像了。由于有了前面的铺垫，我们可以直接给出g(t)附近的近似，而不必像之前那样从R(t)=I开始: 
可以称之为在曲线g(t)处的”正切向量”,而在机器人领域，我们称它为twist。这个twist呢，就像我们开葡萄酒塞时螺旋的角速度和前进的线速度。于是把这些twist集合起来就有了刚体变换的李代数se(3):当然这个twist矩阵也可以表示成一个六维的向量：同理，由可以得到：如果假设g(0)=I，有又到了指数映射,这个矩阵的指数映射可以写成如下形式：于是我们知道了如何将se(3) 映射到SE(3)。 

  到这里基本理清了SE,SO之类的与刚体变换之间的关系，看视觉SLAM类的论文以及相应代码中有关lie部分应该没啥压力了。这篇博文可以说是我看慕尼黑工大(TUM)多视角几何教学视频的笔记，YouTube链接点击这里，这位牛的飞老师的英语吐字清晰，大家应该能够听懂。当然，老师也是参看的别人的文档，这里我也把讲lie 和计算机视觉的两个文档传到了csdn上，供大家下载。

转自：白巧克力亦唯心 http://blog.csdn.net/heyijia0327

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