两种KMP算法

介绍

kmp是一种经典的串的模式匹配算法（也就是在一个长串中匹配另一个短串，看存不存在），由Knuth，Morris，Pratt三人同时发现的，所以命名成了kmp。

前言

老实说，我觉得这个算法不太好懂，我花了整整一天半时间看书查资料，才勉强弄懂。这个过程中发现了两种写法的kmp，最终原理大致相同，实现过程有所区别，这里都分享总结出来吧。实际上，正是网上这两种不同的写法误导了我，让我花了好长时间纠结参照了才弄清楚……

参考

本文内容部分取自：
易懂版：【经典算法】——KMP，深入讲解next数组的求解
常规版：KMP算法学习&总结

代码

问题：
现在有个字符串S：”BBC ABCDAB ABCDABCDABDE“，我想知道里面是否包含P”ABCDABD”

最常规的模式匹配算法

很容易想到的一个方法就是迭代S，每个下标都从头去跟P进行比较，比较完了再回溯，从下一个下标开始再次和P从头比较。

为了形象，用图来说明吧
1.

首先，字符串”BBC ABCDAB ABCDABCDABDE”的第一个字符与搜索词”ABCDABD”的第一个字符，进行比较。因为B与A不匹配，所以搜索词后移一位。

2.

因为B与A不匹配，搜索词再往后移。

3.

就这样，直到字符串有一个字符，与搜索词的第一个字符相同为止。

4.

接着比较字符串和搜索词的下一个字符，还是相同。

5.

直到字符串有一个字符，与搜索词对应的字符不相同为止。

6.

这时，最自然的反应是，将搜索词整个后移一位，再从头逐个比较。这样做虽然可行，但是效率很差，因为你要把”搜索位置”移到已经比较过的位置，重比一遍。

总结：

到这里，想必我们都明白常规模式匹配的原理和弊端了。这种方法在最差的情况下，时间复杂度为O（n*m）,显然需要改进啊。
先看它的代码吧：

/**     * 常规匹配算法     * @param s 原字符串     * @param p 匹配的字符串     * @return 匹配到的下标     */    public List<Integer> normalMethod(String s, String p) {        List<Integer> index = new ArrayList<Integer>();        char[] schar = s.toCharArray();        char[] pchar = p.toCharArray();        int i = 0; //原字符串下标        int j = 0; //匹配字符串下标        while (i < s.length()) {            //如果相等，进行下一个字符的匹配            if (schar[i] == pchar[j]) {                i++;                j++;            }             //否则，从原字符串下一个下标，和P从头匹配            else {                j = 0;                i = i - j + 1;            }            //如果P的字符全部匹配成功            if (j == p.length()) {                i = i - j + 1;                j = 0;                index.add(i - 1 - j);            }        }        return index;    }

第一种KMP算法

为了优化，当主串和子串某个下标不匹配时，KMP算法避免了主串的回溯，而是利用已经匹配的子串，进行子串的移动。这样使得主串从头到尾只迭代了一遍就找到了匹配串。
kmp算法的时间复杂度只有O(n+m)

接着上图说明：

7.

一个基本事实是，当空格与D不匹配时，你其实知道前面六个字符是”ABCDAB”。KMP算法的想法是，设法利用这个已知信息，不要把”搜索位置”移回已经比较过的位置，继续把它向后移，这样就提高了效率。
8.

怎么做到这一点呢？可以针对搜索词，算出一张《部分匹配表》（Partial Match Table）。这张表是如何产生的，后面再介绍，这里只要会用就可以了。

9.

已知空格与D不匹配时，前面六个字符”ABCDAB”是匹配的。查表可知，最后一个匹配字符B对应的”部分匹配值”为2，所以将搜索词向后移动4位，此时与空格继续匹配的字符数组下标应该为2
10.

因为空格与Ｃ不匹配，搜索词还要继续往后移。这时，已匹配的字符数为2（”AB”），对应的”部分匹配值”为0。所以，移动位数 = 2 - 0，此时继续匹配的字符数组下标为0

11.

因为空格与A不匹配，继续后移一位。

12.

逐位比较，直到发现C与D不匹配。对应的”部分匹配值”为2。于是，移动位数 = 6 - 2，继续将搜索词向后移动4位。此时继续匹配的字符数组下标为2

13.

逐位比较，直到搜索词的最后一位，发现完全匹配，于是搜索完成。如果还要继续搜索（即找出全部匹配），对应的”部分匹配值”为0。移动位数 = 7 - 0，主串下标加一，再将搜索词向后移动7位，此时继续匹配的字符数组下标为0。这里就不再重复了。

14.

下面介绍《部分匹配表》是如何产生的。

首先，要了解两个概念：”前缀”和”后缀”。 “前缀”指除了最后一个字符以外，一个字符串的全部头部组合；”后缀”指除了第一个字符以外，一个字符串的全部尾部组合。

15.

“部分匹配值”就是”前缀”和”后缀”的最长的共有元素的长度。以”ABCDABD”为例，

　　－　“A”的前缀和后缀都为空集，共有元素的长度为0；

　　－　“AB”的前缀为[A]，后缀为[B]，共有元素的长度为0；

　　－　“ABC”的前缀为[A, AB]，后缀为[BC, C]，共有元素的长度0；

　　－　“ABCD”的前缀为[A, AB, ABC]，后缀为[BCD, CD, D]，共有元素的长度为0；

　　－　“ABCDA”的前缀为[A, AB, ABC, ABCD]，后缀为[BCDA, CDA, DA, A]，共有元素为”A”，长度为1；

　　－　“ABCDAB”的前缀为[A, AB, ABC, ABCD, ABCDA]，后缀为[BCDAB, CDAB, DAB, AB, B]，共有元素为”AB”，长度为2；

　　－　“ABCDABD”的前缀为[A, AB, ABC, ABCD, ABCDA, ABCDAB]，后缀为[BCDABD, CDABD, DABD, ABD, BD, D]，共有元素的长度为0。

16.

“部分匹配”的实质是，有时候，字符串头部和尾部会有重复。比如，”ABCDAB”之中有两个”AB”，那么它的”部分匹配值”就是2（”AB”的长度）。搜索词移动的时候，第一个”AB”向后移动4位（字符串长度-部分匹配值），就可以来到第二个”AB”的位置。

总结：

求出部分匹配表后，在子串和主串每次不匹配的时候，根据匹配串在表中的最大前后缀长度，就可以知道子串与主串继续比较的那个字符下标了。如果匹配上了，则主串和子串下标都加一，继续进行下一个字符的比较……
要注意的是，match[j]求的是j+1处与主串匹配的子串下标

那么关键来了，如何求出部分匹配表？

/**     * 获得匹配串的部分匹配表     *      * @param s     *            匹配串     * @return 返回部分匹配表     */    private int[] getMatch(String s) {        // 前后缀匹配数组        int[] match = new int[s.length()];        char[] p = s.toCharArray();        int i = 0; // 匹配字符串下表        int j = 0; // 最大前后缀长度        match[i] = 0;        // 注意，从1开始求匹配数组        for (i = 1; i < p.length; i++) {            // 核心部分，递归的求出P[0]···P[j]的最大的相同的前后缀长度j            while (j > 0 && p[j] != p[i]) {                j = match[j - 1];            }            // 递归结束，只有两种情况：(1.p[j] == p[i]，匹配成功，最大前后缀长度加1 (2.匹配失败，最大前后缀长度为0            if (p[j] == p[i])                j++;            match[i] = j;        }        return match;    }

理解点：
1. 这段代码其实就是根据上一个match[i]值来求下一个match[i]值。
2. while就是递归不停的求下标j之前的最大前后缀长度k，然后比较pchar[k]与pchar[j]是否相同。若相同，则下标j找到前后缀，长度为j+1;若递归完后没有找到，则下标j的最大前后缀长度为0。
3. 递归过程引用别人的讲解：

• 已知前一步计算时最大相同的前后缀长度为k（k>0），即P[0]···P[k-1]；
• 此时比较第k项P[k]与P[q],如图1所示
• 如果P[K]等于P[q]，那么很简单跳出while循环;
• 关键！关键有木有！关键如果不等呢？？？那么我们应该利用已经得到的next[0]···next[k-1]来求P[0]···P[k-1]这个子串中最大相同前后缀，可能有同学要问了——为什么要求P[0]···P[k-1]的最大相同前后缀呢？？？是啊！为什么呢？ 原因在于P[k]已经和P[q]失配了，而且P[q-k] ··· P[q-1]又与P[0] ···P[k-1]相同，看来P[0]···P[k-1]这么长的子串是用不了了，那么我要找个同样也是P[0]打头、P[k-1]结尾的子串即P[0]···Pj-1，看看它的下一项P[j]是否能和P[q]匹配。如图2所示
  

最后是完整代码

package test;import java.util.ArrayList;import java.util.List;public class KMP1 {    /**     * 获得匹配串的部分匹配表     *      * @param s     *            匹配串     * @return 返回部分匹配表     */    private int[] getMatch(String s) {        // 前后缀匹配数组        int[] match = new int[s.length()];        char[] p = s.toCharArray();        int i = 0; // 匹配字符串下表        int j = 0; // 最大前后缀长度        match[i] = 0;        // 注意，从1开始求匹配数组        for (i = 1; i < p.length; i++) {            // 核心部分，递归的求出P[0]···P[j]的最大的相同的前后缀长度j            while (j > 0 && p[j] != p[i]) {                j = match[j - 1];            }            // 递归结束，只有两种情况：(1.p[j] == p[i]，匹配成功，最大前后缀长度加1 (2.匹配失败，最大前后缀长度为0            if (p[j] == p[i])                j++;            match[i] = j;        }        return match;    }    /**     * kmp算法     *      * @param s     *            主串     * @param p     *            匹配串     * @return 主串中所有匹配串的头下标     */    public List<Integer> kmp(String s, String p) {        List<Integer> index = new ArrayList<Integer>();        int[] match = getMatch(p); // 获取部分匹配表        char[] schar = s.toCharArray();        char[] pchar = p.toCharArray();        int pLength = p.length();        int sLenght = s.length(); // for循环优化        // i为主串下标，pchar[q]为与schar[i]进行匹配        for (int i = 0, q = 0; i < sLenght; i++) {            // 根据匹配表递归求与schar[i]进行比较的匹配串下标q值            while (q > 0 && pchar[q] != schar[i]) {                q = match[q - 1];            }            // 递归结束，结果：(1. schar[i]与pchar[q]匹配成功，q加一，下个循环与i+1继续比较            //                (2.匹配失败，q为0，下个循环，i+1与0从头匹配            if (pchar[q] == schar[i])                q++;            //如果匹配串成功结束            if (q == pLength) {                //把主串匹配的下标放入index                index.add(i - pLength + 1);                //下个循环，i+1与match[q - 1]继续比较                q = match[q - 1];            }        }        return index;    }    public static void main(String[] args) {        KMP1 kmp1 = new KMP1();        List<Integer> list = kmp1.kmp("abcdabcdabc", "abcdabc");        for (Integer integer : list) {            System.out.println(integer);        }    }}/** * output: 0 4 */

第二种KMP算法

与上一种KMP算法的区别：

子串移动参考next[]表，没有采用最大前后缀长度生成match[]表。next[i]为当匹配串pchar[i]下标匹配失败时，用pchar[next[i]]继续进行匹配

下面是next表的公式

解释下这个公式：
1. j=0时，代表匹配串第一个字符就匹配失败,所以主串从下个字符开始同匹配串从头比较
2. 也是一个递归，原理类似上面的match[]数组。一直求next[k]是否与匹配串pchar[k]匹配。若匹配，则next[k+1]=next[k]+1；若不匹配，继续求next[next[k]]是否匹配，如此继续……
3. 其他情况，不存在这样的匹配，则匹配串直接从头比起

下面用例子来进一步的解释：
已知next的前5个值，想求next[5]
a b a a b a
-1 0 0 1 1 ?

pchar[next[4]]=pchar[1]=’b’
由于pchar[1]与pchar[4]相等，所以next[5]可以是pchar[2]
所以next[5]=next[4]+1=2

仔细琢磨这个例子，懂了第一种KMP算法，这个递归的道理差不多
最后，直接上代码吧

package test;import java.util.ArrayList;import java.util.List;public class KMP2 {    /**获得next数组     * @param p 匹配串     * @return     */    private int[] getNext(String p) {        char[] pChar = p.toCharArray();        int[] next = new int[p.length()];        next[0] = -1;        int i = 0; // 模式串下标        int j = next[i]; // 上一个i的next值        //通过j=next[i]来求next[++i]        while (i < p.length() - 1) {            //如果pChar[i] == pChar[j]匹配,则next[i+1]=j+1 ; 如果i为0，则next[i+1]=0;            if (j == -1 || pChar[i] == pChar[j]) {                next[++i] = ++j;            }            //递归，如果不匹配，继续求next[next[i]]            if (pChar[i] != pChar[j])                j = next[j];        }        return next;    }    public List<Integer> kmp(String s, String p) {        List<Integer> index = new ArrayList<Integer>();        int[] next = getNext(p);        char[] schar = s.toCharArray();        char[] pchar = p.toCharArray();        int i = 0;        int j = 0;        while (i < s.length()) {            if (j == -1 || schar[i] == pchar[j]) {                i++;                j++;                if (j == p.length()) {                    index.add(i - p.length());                    j = 0;                }            } else {                j = next[j];            }        }        return index;    }    /**     * 常规匹配算法     * @param s 原字符串     * @param p 匹配的字符串     * @return 匹配到的下标     */    public List<Integer> normalMethod(String s, String p) {        List<Integer> index = new ArrayList<Integer>();        char[] schar = s.toCharArray();        char[] pchar = p.toCharArray();        int i = 0; //原字符串下标        int j = 0; //匹配字符串下标        while (i < s.length()) {            //如果相等，进行下一个字符的匹配            if (schar[i] == pchar[j]) {                i++;                j++;            }             //否则，从原字符串下一个下标，和P从头匹配            else {                j = 0;                i = i - j + 1;            }            //如果P的字符全部匹配成功            if (j == p.length()) {                i = i - j + 1;                j = 0;                index.add(i - 1 - j);            }        }        return index;    }    public static void main(String[] args) {        KMP2 kmp2 = new KMP2();        List<Integer> list = kmp2.normalMethod("abcdabcdabc",                "abcdabc");        for (Integer integer : list) {            System.out.println(integer);        }    }}/**output:04*/