[JZOJ3248] Type

Description

你要输入一段长为N的字符串，输错第i个字符的概率为Pi，可以在某个位置停下来去检查，找到第一个出错的位置，从现在的位置删到出错的第一个位置，输入、删除一个字符时间为1，检查的时间为t，问最小的期望完成时间。

N≤3000

Analysis

观察打字时的过程，比如当前从i开始打，然后检查，倒回来删到第一个错的地方j，然后从j再开始打。这样想的话，如果我们知道了从j开始打的最小期望步数，记为fj，我们可以方便地进行DP。

那这样我们的fi设的是从i开始输入，输入到结尾的最小期望步数，那么f1就是答案。那么枚举一个位置j作为检查点，则有fi=min(fj+t+j−i+1+calc(i,j))。
显然calc(i,j)=pi(fi+j−i+1)+(1−pi)pi+1(fi+1+j−i)+⋯+(1−pi)⋯(1−pj)fj+1。

这样的时间复杂度是O(N3)的，然而枚举k可以省掉，很轻松地达到O(N2)。