3D图形学坐标系变换

3D图形学坐标系变换

 3D计算机图形学常用的有：物体坐标系，世界坐标系，相机坐标系，投影坐标系以及屏幕坐标系。我们主要讨论的就是这些坐标系间的转换。这些坐标系都是为了完成计算机3D图形学最最最基本的目标而出现。3D计算机图形学最基本的目标就是：将构建好的3D物体显示在2D屏幕坐标上,即渲染。

图1：渲染

 初看好像就是将最初的物体坐标系转换到屏幕坐标系就可以了呀，为什么多出了世界坐标系,相机坐标系，投影坐标系。这是因为：在一个大世界里有多个物体，而每个物体都有自己的坐标系，如何表述这些物体间相对的关系，这个多出了世界坐标系；如果只需要看到这个世界其中一部分，这里就多出了相机坐标系；至于投影坐标系那是因为直接将3D坐标转换为屏幕坐标是非常复杂的(因为它们不仅维度不同,度量不同（屏幕坐标一般都是像素为单位，3D空间中我们可以现实世界的米，厘米为单位），XY的方向也不同，在2D空间时还要进行坐标系变换),所以先将3D坐标降维到2D坐标,然后2D坐标转换到屏幕坐标。

理解3D图形学的第一步：理解左手坐标系与右手坐标系。

为什么会有左手坐标系与右手坐标系之分？

在3D空间(没错！就是3D)中，所有2D坐标系是等价的（就是通过一系列的仿射变换，可以互相转换），而3D坐标系不是等价的，通过仿射变换，是无法将左手坐标系转换到右手坐标系；也就是说，物体坐标系用的就是左手坐标系，世界坐标系用的是右手坐标系，那么物体可能就是不会是我们所希望的样子了，可能是倒立的，也可能是背对着我们的，所以我们要区分左手坐标系与右手坐标系。也许在4D空间，左右手坐标系就可以互相变换了吧。

首先讨论的是物体坐标系->世界坐标系。

前面说了为了描述多个物体间相对的关系，这里引进了世界坐标系,所以世界坐标系是个参考坐标系。这一步的目的将所有的物体的点都转移到世界坐标系，这里主要涉及的是旋转，缩放，平移等。不过我将详细说明为何及如何用矩阵来描述这些变换。

例：如果有两个坐标系C与C`, C`是C绕Z轴旋转θ得到的。下面是各坐标轴的变换：

       

如果是C坐标系的点P（x, y, z），而在C`的表示就是

    

这时该如何建立矩阵呢? 答案就是区分你用的是行向量还是列向量.也许有人会问为什么不区分是左手坐标系还是右手坐标系呢？因为C可以变换到C`,那么他们一定是同在左手坐标系或右手坐标系,变换只能在可以互相转换的坐标系之间进行。

如果你用的是行向量：由于行向量只能左乘矩阵(注意乘与乘以的区别) ，所以矩阵形式应该是这样：

     

只有这样，在左乘矩阵时才能得到上面P`的形式。

     

如果你用的是列向量： 由于列向量只能右乘矩阵(注意乘与乘以的区别)，所以矩阵形式应该是这样：

     

只有这样，在右乘矩阵时才能得到上面P`的形式。

     

至于如何旋转，缩放，平移我不在多说。

其次讨论世界坐标系->相机坐标系。

引进相机的目的就是只需看到世界的一部分，而哪些是可以在相机里看到的，就需要进行筛选。将物体转换到相机坐标系，这样相机坐标系进行筛选时就会简单很多。如何构建相机坐标系呢？我们一般用UVN相机，即一般选取视线方向为Z轴负方向，相机向上且与Z轴垂直的方向为Y轴正向，X轴与Y、Z轴正交组成右手坐标系。

再次讨论相机坐标系->投影坐标系。投影的目的就是：降维。两种投影方式：正交投影与透视投影。

最后讨论投影坐标系->屏幕坐标系。这是最简单的2D坐标变换，也不多说。

图2：3D计算机图形学常用的坐标系统示意图

图3：用于顶点处理的坐标系统和变换

 

图4：3D计算机图形学

图5：视景体

图6：裁剪和视域剔除

PS：

坐标系引申：

 1)世界坐标系(world coordinate Systems)，该坐标系统主要用于计算机图形场景中的所有图形对象的空间定位和定义，包括观察者的位置、视线等等。计算机图形系统中涉及的其它坐标系统都是参照它进行定义。

 2)局部坐标系(Local Coordinate System)，主要为考察物体方便起见，独立于世界坐标系来定义物体几何特性，通常是在不需要指定物体在世界坐标系中的方位的情况下，使用局部坐标系。一旦你定义“局部”物体，通过指定在局部坐标系的原点在世界坐标系中的方位，然后通过几何变换，就可很容易地将“局部”物体放入世界坐标系内，使它由局部上升为全局。

 3)观察坐标系(Viewing coordinate systems)，观察坐标系通常是以视点的位置为原点，通过用户指定的一个向上的观察向量(view up vector)来定义整个坐标系统，缺省为左手坐标系，观察坐标系主要用于从观察者的角度对整个世界坐标系内的对象进行重新定位和描述，从而简化几何物体在投影面的成像的数学推导和计算。

 4)成像面坐标系统，它是一个二维坐标系统，主要用于指定物体在成像面上的所有点，往往是通过指定成像面与视点之间的距离来定义成像面，成像面有时也称投影面，可进一步在构影面上定义称为窗口的方形区域来实现部分成像。

 5)屏幕坐标系统，也称设备坐标系统，它主要用于某一特殊的计算机图形显示设备(如光栅显示器)的表面的点的定义，在多数情况下，对于每一个具体的显示设备，都有一个单独的坐标系统，在定义了成像窗口的情况下，可进一步在屏幕坐标系统中定义称为视图区(view port)的有界区域，视图区中的成像即为实际所观察到的。

6)设备坐标系和规格化设备坐标系

     设备坐标系(Device Coordinate, DC)是图形设备上采用的与具体设备相关的坐标系。设备坐标系一般采用整数坐标，其坐标范围由具体设备的分辨率决定。设备坐标系上的一个点一般对应图形设备上的一个像素。由于具体设备的限制，设备坐标系的坐标范围一般是有限的。

     规格化设备坐标系(Normal Device Coordinate, NDC)是为了避免设备相关性而定义的一种虚拟的设备坐标系。规格化坐标系的坐标范围一般从0到1，也有的是从-1到＋1。采用规格化设备坐标系的好处是屏蔽了具体设备的分辨率，使得图形处理能够尽量避开对具体设备坐标的考虑。实际图形处理时，先将世界坐标转换成对应的规格化设备坐标，然后再将规格化设备坐标映射到具体的设备坐标上去。

7）齐次坐标

    所谓齐次坐标是指用一个n＋1维向量表示一个n维向量。若n维空间中点的位置向量用笛卡儿坐标表示为(p1,p2,…,pn)，且是唯一的。若用齐次坐标表示时，此向量有n＋1个坐标分量(hp1,hp2,…,hpn,h)，且不唯一。非齐次坐标与齐次坐标是一对多的关系，但不影响图形的形状。例如，一个二维空间点［x,y］，如果用齐次坐标表示则为［hx,hy,h］。通常，在实际应用中采用规范化齐次坐标，就是取h＝1，即用三维向量［x,y,1］表示二维向量［x,y］. 

采用齐次坐标的优越性主要表现在以下两方面。

(1) 齐次坐标提供了用矩阵运算把二维、三维甚至更高维空间中的一个点集从一个坐标系变换到另一个坐标系的有效方法。

(2) 齐次坐标可以表示无穷远点。例如，在n＋1维空间(hp1,hp2,…,hpn,h), h＝0的齐次坐标实际上表示了一个n维(p1,p2,…,pn)的无穷远点。在三维情况下，利用齐次坐标表示投影变换，其几何意义会更加清晰。

Directx中的坐标变换：

Directx中使用是左手坐标系，并使用行向量

（1）世界变换和世界坐标系：物体在三维空间的运动和变形过程称为世界变换，如平移、旋转、缩放等。物体在其中运动的三维空间称为世界空间，它的三维坐标系表示称为世界坐标系，物体顶点在世界坐标系里的坐标变换称为世界变换。

（2）取景变换和观察坐标系：把图形显示想象成摄像过程，取景变换就像摄像机中摄像机的摆放一样，在三维图形显示中，需要设置一个虚拟摄像机，屏幕显示的图形就是虚拟摄像机拍摄在胶片上的景物。以摄像机位置为参考原点，摄像机观察的方向为坐标轴，建立的坐标系称为观察坐标系，物体在观察坐标系中的相对坐标称为观察坐标，顶点从世界坐标到观察坐标的转换称为取景变换。

（3）投影坐标和投影坐标系：物体从世界坐标描述转换到观察坐标后，可将三维物体投影到二维表面上，即投影到虚拟摄像机的胶片上，这个过程就是投影变换。以胶片中心为参考原点的空间坐标系称为投影坐标系，物体在投影坐标系中的坐标称为投影坐标。

（4）视区变换和屏幕坐标系：物体在投影坐标系中的表示为浮点坐标，通过定义屏幕显示区域（一般为显示窗口大小），将浮点坐标转化为像素坐标的过程称为视区变换，该像素坐标值称为屏幕坐标。例如，如果定义视区大小为宽640像素、高480像素，那么投影坐标（1.0f, 0.5f）经过视区变换后的屏幕坐标为（640, 240），如果定义视区大小为宽1024像素、高800像素，经过视区变换后的屏幕坐标为（1024, 400）。

渲染是指将3D几何体、光、贴图、材质、粒子特效、后期处理等等这些数据通过光栅处理用2D图像显示出来。

实时渲染是软件的渲染速度理想上达到一个介于眼睛极限速率（25到30之间的帧率）和屏幕刷新速率（通常为60帧率）的速率。