特征脸算法（Eigenface）

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特征脸算法（Eigenface）

算法实现流程：

1）将训练集的每一个人脸图像都拉长一列，将他们组合在一起形成一个大矩阵A。假设每个人脸图像是MxM大小，那么拉成一列后每个人脸样本的维度就是d=MxM大小了。假设有N个人脸图像，那么样本矩阵A的维度就是dxN了。

2）将所有的N个人脸在对应维度上加起来，然后求个平均，就得到了一个“平均脸”。你把这个脸显示出来的话，还挺帅的哦。

3）将N个图像都减去那个平均脸图像，得到差值图像的数据矩阵Φ。

4）计算协方差矩阵C=ΦΦ^T。再对其进行特征值分解。就可以得到想要的特征向量（特征脸）了。

5）将训练集图像和测试集的图像都投影到这些特征向量上了，再对测试集的每个图像找到训练集中的最近邻或者k近邻啥的，进行分类即可。

      另外，对于步骤4），涉及到求特征值分解。如果人脸的特征维度d很大，例如256x256的人脸图像，d就是65536了。那么协方差矩阵C的维度就是dxd=65536x65536。对这个大矩阵求解特征值分解是很费力的。那怎么办呢？如果人脸的样本不多，也就是N不大的话，我们可以通过求解C’=Φ^TΦ矩阵来获得同样的特征向量。可以看到这个C’=Φ^TΦ只有NxN的大小哦。如果N远远小于d的话，那么这个力气就省得很值了。那为什么求解C’=Φ^TΦ矩阵的特征向量可以获得C=ΦΦ^T的特征向量？万众瞩目时刻，数学以完美舞姿登上舞台。证明如下：

                                           

 其中，e_i是C’=Φ^TΦ的第i个特征向量，v_i是C=ΦΦ^T的第i个特征向量，由证明可以看到，v_i=Φe_i。所以通过求解C’=Φ^TΦ的特征值分解得到e_i，再左乘Φ就得到C=ΦΦ^T的特征向量v_i了。也就是我们想要的特征脸。

具体MATLAB代码见原文。