树 - （二叉查找树，红黑树，B树）-二叉查找树 BST

二叉查找树 BST

查找树是一种数据结构，支持动态集合操作。在二叉查找树上执行基本操作的时间与树的高度成正比。对已n个节点的完全二叉树，各种操作的最坏情况运行时间O(logn). 但是如果二叉查找树退化成含n个节点的线性链，各种操作的最坏情况运行时间O(n)。 一颗随机构造的二叉查找树的操作平均时间是O(logn).

性质：

对于任何节点x，其左子树的关键字最大不超过key[x],其右子树的关键字最小不小于key[x]. 因此可以使用中序遍历算法，输出有序的树的所有关键字。

不同的二叉查找树可以表示同一组值。

查找二叉查找树的时间可以在O(h) = O(logn)的时间内完成。

关于二叉树的一些数学性质：
1. 在二叉树的第i层上至多有2(i-1)个节点(i>=1)
2. 深度为k的二叉树至多有2k-1个节点
3. 对于任何一棵二叉树T，如果其叶子节点数为n0，度为2的节点数为n2,则n0=n2+1.

操作及代码

        // 返回指向包含关键字k的节点的指针    public TreeNode search(TreeNode root, int k){        if(root==null){            return null;        }        if(root.val == k)            return root;        if(root.val > k){            return search(root.left,k);        }        else            return search(root.right,k);    }    //非递归 - 返回指向包含关键字k的节点的指针    public TreeNode searchIterative(TreeNode root, int k){        while(root!=null){            if(root==null || root.val == k){                return root;                }            if(root.val>k)            {                root = root.left;            }            else                root = root.right;            }        return root;    }    // 返回最小值节点    public TreeNode minimal(TreeNode root){        if(root ==null){            return null;        }        while(root.left!=null){            root = root.left;        }        return root;    }    // 返回最大值节点    public TreeNode maximal(TreeNode root){        if(root ==null){            return null;        }        while(root.right!=null){            root = root.right;        }        return root;    }

插入

插入：从根结点开始，沿树下降。指针 x 跟踪这条路径，而 y 始终指向 x 的父结点。根据 key[z] 与 key[x] 的比较结果，决定向左向右转。直到 x 成为 NIL 为止。这个 NIL 所占位置及我们想插入 z 的地方，y 即为 z 的父结点。

        // 插入    public TreeNode insert (TreeNode root, TreeNode x){        TreeNode p = root;        TreeNode y = new TreeNode();        if(p==null){            root = x;            return root;        }        while(p!=null)              {                if(p.val >= x.val){                y = p;                p = p.left;            }            else{                y = p;                p =p.right;            }        }        // 树本来没有节点的时候        x.parent = y;        if(x.val <= y.val){            y.left = x;        }        else{            y.right = x;        }        return root;    }

完整代码

package test;/** * @author 作者 MarcoSpring: * @version 创建时间：2012-8-3 上午10:14:51 二叉搜索树 */public class Tree {public TreeNode root;// 根节点// 查找节点public TreeNode search(int Key) {TreeNode node = root;// 首先定义一个节点让其指向根，在下面的循环中// 只要节点值不等于要查找的节点值就进入循环如果没有找到则返回nullwhile (node.keyValue != Key) {if (Key < node.keyValue) { // 如果要查找的值小于节点值则指向左节点node = node.leftNode;} else { // 否则指向右节点node = node.rightNode;}if (node == null) { // 如果节点为空了则返回nullreturn null;}}return node;}

插入节点，递归方式private TreeNode insert(x,TreeNode root){if(t==null)return new TreeNode(x,null,null);else if(x<root.data){root.left=insert(x,root.left);}else if(x<root.data){root.right=insert(x,root.right);}else ;return root;}

实际用途

在搜索应用中使用，尤其是数据频繁插入和删除等等更改操作。比如set和map。

虽然BST的操作用数组完全可以实现，但是数组只适合那种write once, read many times的操作。
然而当要进行操作诸如 插入,删除，交换的时候，BST的性能远远超过了数组。BST 是 node based 数据结构，
而数组是 contiguous chunk of memory, 即基于连续内存的数据结构，插入,删除，交换要BST更好。

举个例子
BST和哈希表有何区别？ 存储手机上的通讯录用哪个数据结构好？
哈希表可以O(1)时间进行搜索和插入。
BST 可以O(nlogn)时间进行搜索和插入。 在这一点BST稍慢。
但是二者最大的区别是哈希表是一个无序的DS，while, BSTs 是有序的DS。
当设计手机通讯录这种对内存要求很高的应用时候，需要考虑存储空间而且手机通讯录需要元素有序。哈希表无序，需要额外的空间和时间去排序，而BST就不需要额外的空间去
排序，而且在n<5000条记录的时候，BST的O(nlogn)足够快。

所以应该采用BST。