等式约束QP命题的求解(Solving equality-constrained QP)
来源:互联网 发布:淘宝店铺旺旺名怎样看 编辑:程序博客网 时间:2024/06/06 00:54
在有效集法(Active Set Method)中,在每次迭代中都要求解一个等式约束的 QP 命题。本文主要对这一问题的求解方法进行关注。此外,本文还会涉及到部分关于 Range Space,Null Space 等内容。主要参考的是 Nocedal 的 Numerical Optimization 一书。
等式约束 QP 命题
这里我们考虑如下的一个等式约束 QP 命题:
其中,
其中,
将上式写成矩阵形式为:
而在实际计算中,我们往往不是直接计算最优点
其中,
(2) 式中的矩阵通常被称作 KKT 矩阵,在一定的假设下(矩阵
直接分解的方法求解 KKT 系统
首先我们记
虽然一般
Full Space / Full KKT System 方法
虽然这里的 K 阵不具有正定性,但还有对称性这一特性可以利用,因此我们可以考虑采用对称不定分解(Symmetric Indefinite Factorization)来对 K 阵进行分解。即对于一个一般性的对称矩阵 K,有
其中
即
因此,我们可以通过下面的一系列步骤来求解
可以看出,在上面的方程组中,因为
Range Space / Schur-Complement 方法
采用这种方法需要保证 K 阵中的 G 阵是正定的,这样我们可以 (2) 式中的第一个方程得到
将第二个方程代入即可得:
其中,
在该方法中,因为需要对
G 阵条件数较小且易于求逆,比如G 是对角阵或者分块对角阵,或者G 阵的逆可以用其他方法显式地表达出来;- 原优化命题的约束数目
m 较小,这样需要分解的AG−1AT 阵的维数就较小。
另外,Schur-Complement 这个名称来源于线性代数中的一个术语,因为如果我们对原矩阵
其中,
Null-Space 方法
这里我们不加深入讨论地引入关于 Null Space 的一些理论和方法,关于这些方法的进一步讨论,可以参看原书,我也会在后续的另一篇博文中进行更深入地讨论。
Null Space 方法不需要
假如我们把向量
其中,
可以证明
等式两边同乘
上面的方程组可以通过对
当
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