线性插值——如何根据两点确定一条线段

计算机能画一条线段（数学意义上）吗？并不能。不管多短的一条线段，都包含实数集上的无数个点，计算机能做的是尽可能多地采样，描更多的点，让人眼难以看出其中的不连续性。

已知 x,y 分别为坐标轴上的两点，下式为采样公式，

x′=(1−p)⋅x+p⋅y,p∈[0,1]

对 p在整个 [0,1]闭区间上取值，可得到介于端点 x,y 之间的值，因为向量 (x′−x)=p⋅(y−x) 平行于向量 y−x，又因为二者共享同一端点 x，故三者共线。

import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltdef main():    x0, x1 = [1, 1], [2, 2]    for p in np.linspace(0, 1, 1000):        plt.plot((1-p)*x0[0]+p*x1[0], (1-p)*x0[1]+p*x1[1], '.', c='k')    plt.plot(x0[0], x0[1], 'o', ms=10)    plt.plot(x1[0], x1[1], 'o', ms=10)    plt.show()if __name__ == '__main__':    main()

我们不妨对该公式做一次简单推导，如图所示：

x⃗ −z⃗  与 z⃗ −y⃗  共线，不妨令

x⃗ −z⃗ =k(z⃗ −y⃗ )⇓x⃗ +ky⃗ =(1+k)z⃗ ⇓z⃗ =11+kx⃗ +k1+ky⃗ ⇓11+k→λ,11+k≤1z⃗ =λx⃗ +(1−λ)y⃗