优化方法之朗格朗日对偶性

学习最大熵模型和支持向量机的过程中，涉及优化中对偶性的相关内容，在这里做个小结巩固一下(参考自《统计学习方法》)。拉格朗日对偶性常用来解决约束最优化问题，其思想是将原始问题转换为对偶问题，通过解对偶问题间接求出原始问题。

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1.原始问题

设f(x),ci(x),hj(x)是定义在 Rn上的连续可微函数，则称约束最优化问题：

minx∈Rnf(x)s.t.ci(x)≤0,i=1,2,…,khj(x)=0,j=1,2,…,l

为原始最优化问题或原始问题。引进广义拉格朗日函数

L(x,α,β)=f(x)+∑i=1kαici(x)+∑j=1lβjhj(x)

这里，x=(x(1),x(x),…,x(n))T∈Rn,αi,βj是拉格朗日乘子，αi≥0.考虑x的函数：

θp(x)=maxα,β:αi≥0L(x,α,β)

其中，下标P表示原始问题。由反证法易知：

θp(x)={f(x),x满足原始问题约束+∞,其他

那么，极小化问题

minxmaxα,β:αi≥0L(x,α,β)

与原始问题是等价的。即，我们把原始问题表示为广义拉格朗日函数的极小极大问题。原始问题的最优值：

p∗=minxθP(x)

称为原始问题的值。

2.对偶问题

我们定义

θD(α,β)=minxL(x,α,β)

则称

maxα,β:αi≥0θD(α,β)=maxα,β:αi≥0minxL(x,α,β)

为广义拉格朗日函数的极大极小问题。将上式表示为约束最优化问题：

maxα,βθD(α,β)=maxα,βminxL(x,α,β)s.t.αi≥0,i=1,2,…,k

称上式为原始问题的对偶问题。将对偶问题的最优值：

d∗=maxα,β:αi≥0θD(α,β)

称为对偶问题的值。

3.解的关联

定理1 若原始问题和对偶问题都有最优值，则

d∗=maxα,β:αi≥0θD(α,β)≤minxmaxα,β:αi≥0L(x,α,β)=p∗

推论2 设x∗和α∗,β∗分别为原始问题和对偶问题的可行解，并且d∗=q∗，则x∗和α∗,β∗分别是原始问题和对偶问题的最优解。

特别地，若原始问题和对偶问题的最优解相等，我们可以用解对偶问题替代原始问题。

定理3对于原始问题和对偶问题，假设函数f(x)和ci(x)是凸函数，hj(x)是仿射函数（一阶多项式函数），并且假设不等式约束ci(x)的不等式严格可行，则存在x∗,α∗,β∗，使x∗是原始问题的解，α∗,β∗是对偶问题的解，并且p∗=d∗。

定理4对原始问题和对偶问题，假设函数f(x)和ci(x)是凸函数，hj(x)是仿射函数，并且假设不等式约束ci(x)的不等式严格成立，则x∗和α∗,β∗分别是原始问题和对偶问题的解的充要条件是x∗,α∗,β∗满足KKT条件。