离散--第五章 函数

第5章 函数
• 5.1 函数定义及其性质

•5.2 函数的复合与反函数

5.1函数定义及其性质
• 5.1.1 函数的定义
– 函数定义
– 从A到B的函数
• 5.1.2函数的像与完全原像
• 5.1.3函数的性质
– 函数的单射、满射、双射性
– 构造双射函数
函数定义
定义5.1 设f 为二元关系, 若 x∈domf 都存在唯一的
y∈ranf 使 x f y 成立, 则称 f为函数.对于函数f, 如果有
x f y, 则记作 y=f(x), 并称 y 为 f在 x 的值.
例如 f1={<x1,y1>,<x2,y2>,<x3,y2>}
f2={<x1,y1>,<x1,y2>}
f1是函数, f2不是函数
函数相等
从A到B的函数
定义5.3设A, B为集合,如果
(1) f 为函数
(2) domf = A
(3) ranf  B,
则称 f 为从A到B的函数,记作 f : A→B.
实例
f : N→N,f(x)=2x 是从 N 到 N 的函数
g : N→N,g(x)=2也是从 N 到 N 的函数
B上A
定义5.4所有从A到B的函数的集合记作BA,读作“ B上A”
符号化表示为
BA ={ f | f : A→B}
计数：
|A|=m, |B|=n, 且m,n>0, |BA|=nm.
重要函数的定义
定义5.5
(1) 设f：A→B,如果存在 c∈B使得对所有的 x∈A 都有
f(x)=c, 则称 f : A→B是常函数.
(2) 称 A 上的恒等关系 IA为A 上的恒等函数,对所有的
x∈A 都有 IA(x)=x.
(3) 设<A, ≼>, <B,≼>为偏序集， f : A→B，如果对任意
的 x1, x2∈A, x1≺x2,就有 f(x1) ≼ f(x2), 则称 f 为单调递增
的；如果对任意的 x1, x2∈A,x1≺x2,就有 f(x1) ≺ f(x2), 则
称 f 为严格单调递增的.
类似的也可以定义单调递减和严格单调递减的函数.

A'(a)    1 0,, a a A A'  A'
(4) 设 A 为集合,对于任意的 A’A, A’的特征函数
A’:A→{0,1} 定义为

属于子集  那么就等于1 ，不属于子集，等于0
实例：设A={a,b,c},A的每一个子集 A'都对应于一个
特征函数, 不同的子集对应于不同的特征函数. 如
 = {<a,0>,<b,0>,<c,0>}，
{a,b} = {<a,1>,<b,1>,<c,0>}.

(5)设 R 是 A上的等价关系, 令
g : A→A/R
g(a) = [a], a∈A
称 g 是从 A 到商集 A/R的自然映射.

函数的像与完全原像
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定义5.6 设函数f : A→B,A1A, B1B,称
f(A1) = { f(x) | x∈A1 }为A1在 f 下的像， f(A) 称为函数的像.
f 1(B1)={ x | x∈A∧f(x)∈B1}   为B1在 f 下的完全原像
注意:
函数的像与值的区别：函数值 f(x)∈B, 像 f(A1)B.
A
1 f 1(f(A1))，f(f 1(B1))B1.
实例 A={1,2,3}; B={a,b,c};f={<1,a>, <2,a>, <3,b>};B1 ={b,c}
{1}{1,2}=f 1({a})=f 1(f({1}))
f(f 1({b,c}))=f({3})={b}{b, c}
5.2函数的复合与反函数
• 5.2.1 函数的复合
– 函数复合的基本定理及其推论
– 函数复合的性质
• 5.2.2反函数
– 反函数存在的条件
– 反函数的性质
定理5.1设f, g是函数,则f∘g也是函数,且满足
(1) dom(f∘g)={x | x∈domf  f(x)∈domg}
(2) x∈dom(f∘g)有 f∘g(x) =g(f(x))

推论1设f,g,h为函数,则(f∘g)∘h和 f∘(g∘h)都是函数,且
(f∘g)∘h= f∘(g∘h)
证 由上述定理和关系合成运算的可结合性得证.
推论2设f: A→B,g :B→C,则 f∘g: A→C,且x∈A都有
f∘
g(x) =g(f(x)).
证 由上述定理知 f∘g是函数,且
dom(f∘g) = { x |x∈domf∧ f(x)∈domg}
={ x |x∈A∧ f(x)∈B} = A
ran(f∘g) rang C
因此 f∘g: A→C,且x∈A有 f∘g(x) = g(f(x)).

函数复合的性质
定理5.2设 f : A→B,g :B→C.
(1) 如果 f : A→B,g :B→C都是满射的,则 f∘g: A→C也是满射
的.
(2) 如果 f : A→B,g :B→C都是单射的,则 f∘g: A→C也是单射
的.
(3) 如果 f : A→B,g :B→C都是双射的,则 f∘g: A→C也是双射
的.

反函数的存在条件及定义
定理5.4设 f : A→B是双射的,则f1:B→A也是双射的.
证 因为 f是函数,所以 f 1是关系,且
dom f1= ranf=B, ran f1= domf=A,
对于任意的 x∈B,假设有 y1, y2∈A使得
<x,y1>∈f1∧<x,y2>∈f1成立,则由逆的定义有
<y1,x>∈f∧<y2,x>∈f.根据 f 的单射性可得 y1=y2,从而证
明了f 1是函数，且是满射的.
若存在 x1,x2∈B使得f 1(x1) = f 1(x2)=y,从而有
<x
1,y>∈f1∧<x2,y>∈f1
 <y,x1>∈f∧<y,x2>∈f x1=x2因为 f 是函数）
从而证明了f 1的单射性.
对于双射函数f: A→B,称f1:B→A是它的反函数.