【网络流】：一些基本知识

1）求最小割的割集：

在最大流中，源点 s 和残留网络中所有 s 可达的节点构成最小割。

2）最大流和最小割唯一性的关系

3）怎么判断一个流图中的最小割是否唯一

先求最大流，得到残留网络，从源点出发得到能够到达的结点，然后从汇点出发逆着边的方向往回走得到能够到达的结点（即能够到达汇点的结点），如果结点全部能够被访问到，最小割就是唯一的。否则如果中间有结点，两边都访问不到，最小割就不是唯一的。以图 2 为例，残留网络中所有边的方向正好反过来， 源点能够到达的结点只有 s，能够到达汇点的只有 t， 存在结点使两边都访问不到， 所以最小割不是唯一的。

结点分为三类：（ 1） upstream 上游结点： 在所有最小割中都属于 A 集合(源点所在的集合)（ 2） middle 中间结点： 除了上游节点和下游节点之外的其它节点（ 3） downstream 下游结点： 在所有最小割中都属于 B 集合(汇点所在集合)计算一个流图的最大流，然后得到残留网络，源点能够到达的结点就是上游结点，能够到达汇点的就是下游结点，其它为中间结点。 最小割是唯一的当且仅当中间节点为空。

4）最大流算法回顾
Ford-Fulkerson： 凡是用增广路径求最大流的都可以说是Ford-Fulkerson算法
Edmonds-Karp： 每次直接用BFS找增广路径
Dinic： 先用BFS找层次图， 然后在层次图上用 DFS 找增广路径那么能不能只用DFS 来找增广路径？正确性可以保证， 但是容易出现低效率的情况， 举例流图如下（ 有可能需要增广2*106次）：

Blocking Flow算法：正向边全都被堵死了，Dinic 算法本质上是一个 Blocking Flow算法。
Dinic 算法：第一次用 BFS 找层次图， 然后 DFS 只准沿着层次往下走， 当 Dinic算法这一阶段走完的时候， 说明这个层次图是不连通的，这个时候的流对于开始阶段时候的流图来说就是Blocking Flow。
Blocking Flow 和最大流的关系：如果一个流是最大流， 那么它一定是 Blocking Flow， 但是倒过来就不行。反例如下图所示（这个流图中最大流实际上应该是2， 但是你可以有一个Blocking Flow 直接从最上面 3 条有向边走， 但它不是最大流）：

5）几个匹配定理：

Hall’s theorem： 如果分成X 与 Y 两边的二部图 G=(V,E)有一个完美匹配，那么对所有A ⊆ X 的必须有Γ ≥(A)A 。Γ(A)表示 A 在 Y 中对应的点的集合。
Menger’s theorem：
    Edge disjoint path 版本：在每个具有节点 s 与 t 的有向图（或无向图）中，边不交 s-t 路径的最大数目等于为分离 s 与 t 所需移走的最少边数。
    Node disjoint path 版本：Given a directed (or undirected) graph with two nonadjacent nodes s and t, the max number of internally node-disjoint s-t paths equals the min number of internal nodes whose removal disconnects t from s.