最长回文子串

问题描述：编写一个函数，参数为一个字符串，返回这个字符串的最长回文子串长度。

解决方法：

方法一：因为如果一个字符串是回文的，那么以某个字符为基点的前缀和后缀都是相同的。所以可通过遍历某个字符作为基点，然后再基点处前后进行扫描，记录并更新得到最长的回文子串。

实现代码如下：

public static int getLongestPalindrome(String str) {        int len = str.length();        if (str == null || len <= 0)            return 0;        int max = 0, c = 0, i = 0, j;        // i为基点位置，j为前后缀长度        for (; i < len; i++) {            //回文子串长度为奇数的情况            for (j = 0; i - j >= 0 && i + j < len; j++) {                if (str.charAt(i - j) != str.charAt(i + j))                    break;                c = j * 2 + 1;            }            if (c > max)                max = c;            //回文子串长度为偶数的情况            for (j = 0; i - j >= 0 && i + j + 1 < len; j++) {                if (str.charAt(i - j) != str.charAt(i + j + 1))                    break;                c = j * 2 + 2;            }            if (c > max)                max = c;        }        return max;}

方法二：基于Manacher算法。Manacher算法描述如下：

首先，在每个字符的两边都插入一个特殊的符号，将所有可能的基数或偶数长度的回文子串都转换成了奇数长度。比如"abba"转换成"#a#b#b#a#"，"aba"转换成"#a#b#a#"。

此外为了进一步减少编码的复杂度，可以在字符串的起始处添加另一个特殊字符，这样就不需要处理越界问题。比如"$#a#b#a#"。

以字符串S = "abbabcba"为例，插入'$'和'#'这两个特殊符号，转换成"$#a#b#b#a#b#c#b#a#"，然后用一个数组P[i]来记录以字符S[i]为基点的最长回文子串前缀或后缀的长度（包括S[i]）。

此时字符串S与数组P的对于关系如下：

符可以看出，P[i]-1刚好是源字符串中最长回文串的总长度，为5。

接下来怎么计算P[i]呢？Manacher算法增加两个辅助变量id和mx，其中id表示最大回文子串基点位置，mx则为id+P[id]，也就是最大回文子串的边界。由此可得到一个很重要的结论：如果 mx > i，则 P[i] >= Min（P[2 * id - 1]，mx - i）。

实现代码如下：

//mx > i，那么P[i] >= MIN(P[2 * id - i], mx - i)//故谁小取谁if (mx - i > P[2*id - i])    P[i] = P[2*id - i];else  //mx-i <= P[2*id - i]    P[i] = mx - i; 

下面，令j = 2*id - i，也就是说j是i关于id的对称点。

当 mx - i > P[j] 的时候，以S[j]为中心的回文子串包含在以S[id]为中心的回文子串中，由于i和j对称，以S[i]为中心的回文子串必然包含在以S[id]为中心的回文子串中，所以必有P[i] = P[j]；

当 P[j] >= mx - i 的时候，以S[j]为中心的回文子串不一定完全包含于以S[id]为中心的回文子串中，但是基于对称性可知，下图中两个绿框所包围的部分是相同的，也就是说以S[i]为中心的回文子串，其向右至少会扩张到mx的位置，也就是说 P[i] >= mx - i。至于mx之后的部分是否对称，再具体匹配。

此外，对于 mx <= i 的情况，因为无法对 P[i]做更多的假设，只能让P[i] = 1，然后再去匹配。

综上，关键代码如下：

//输入，并处理得到字符串sint p[1000], mx = 0, id = 0;memset(p, 0, sizeof(p));for (i = 1; s[i] != '\0'; i++) {    p[i] = mx > i ? min(p[2 * id - i], mx - i) : 1;    while (s[i + p[i]] == s[i - p[i]])         p[i]++;    if (i + p[i] > mx)     {        mx = i + p[i];        id = i;    }}//找出p[i]中最大的

此Manacher算法使用id、mx做配合，可以在每次循环中，直接对P[i]的快速赋值，从而在计算以i为中心的回文子串的过程中，不必每次都从1开始比较，减少了比较次数，最终使得求解最长回文子串的长度达到线性O(N)的时间复杂度。

参考：http://www.felix021.com/blog/read.php?2040