随机化算法基础

 

随机化算法在分析某些涉及概率分析的问题上具有重要意义，因为输入的分布是我们不能预知的，我们想让分析的问题达到一个平均的状态，就得依靠随机化，把输入分布重新排列，使之成为一个脱离其他外界因数的排列，同时要保证出现这个排列的概率为1/n!。

下面，有两个常用的算法来实现输入分布的随机化，以给定的输入数组为例，我们的目标是把A[1..n]随机排列。

方法一：

为数组的每个元素A赋一个随机的优先级P,然后依据优先级对数组A中的元素进行排序。例如，数组A = {1，2，3，4}，选择一个随机优先级P = {36，3，97，19}，将得出数组A的排列B = {2，4，1，3}，因为第2个优先级最小，其次是第4个，第1个，第3个。

这个过程称为permute_by_sorting

permute_by_sorting(A)

1 n <- length[A]

2 for i <- 1 to n

3      do P = RANDOM(1,n^3)

4 sort A,using P as sort keys

5 return A

其中第3步选择的随机数范围1--n^3是为了让产生的随机数尽可能的唯一。此过程消耗的时间将由第4步的排序决定，如果使用基于比较的排序，这个时间下界可以达到nlgn（合并排序……），其中排序的方法与普通排序一样，对P进行排序，多的只是在这个过程中将A按P的优先级排序。

方法二：

一个更好的原地排序（in place）给定的数列。过程randomize_in_place在O(n)的时间内完成。在第i次迭代时，元素A是从A到A[n]中随机选取的。第i次迭代之后，A保持不变。

randomize_in_place(A)

1 n <- length[A]

2 for i <- 1 to n

3      do swap A <-> A[RANDOM(i,n)]

 

证明这两个随机算法产生排列的概率为是均匀的即 1/n! ，需要用的概率分析的内容，这里不再验证（自己也知之甚少）。

同时，并非所有的随机化都是这个模式，这里只说明了常用的模型。例如在quick_sort中使用随机化使时间接近最优时，只需要在选择pivot时作一个随机选择。对于这个模型的具体实例，我在以后的学习中遇到将会添加。