POJ 3734 Blocks（矩阵优化+DP）

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题意：个n个方块涂色， 只能涂红黄蓝绿四种颜色，求最终红色和绿色都为偶数的方案数。

该题我们可以想到一个递推式 。   设a[i]表示到第i个方块为止红绿是偶数的方案数， b[i]为红绿恰有一个是偶数的方案数， c[i]表示红绿都是奇数的方案数。

那么有如下递推可能：

递推a[i+1]：1.到第i个为止都是偶数，且第i+1个染成蓝或黄；2.到第i个为止红绿恰有一个是奇数，并且第i+1个方块染成了奇数对应的颜色。

递推b[i+1]：1.到第i个为止都是偶数，且第i+1个染成红或绿；2.到第i个为止红绿恰有一个是奇数，并且第i+1个方块染成了蓝或黄；3.到第i个方块为止红火绿都是奇数，并且第i+1个染成红火绿。

递推c[i+1]：1.到第i个为止红绿恰有一个是奇数， 并且第i+1个方块染成偶数对应的颜色；2.到第i个为止红绿都是奇数，并且第i+1个方块染成蓝或黄。

即a[i+1] = 2*a[i] + b[i];

    b[i+1] = 2*a[i] + 2*b[i] + 2*c[i];

    c[i+1] = b[i] + 2*c[i];

因为DP的过程中，每一步都是在重复上一个过程， 所以可以用矩阵相乘来优化算法。

将上述递推式写成矩阵相乘的形式：

{ a[i] }      {2  1  0}^i{a[0] }

{ b[i] }  = {2  2  2}   {b[0] }

{ c[i] }     {0  1  2}   {c[0] }

然后用矩阵快速幂就可以了。

细节参见代码：

#include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>#include<iostream>#include<string>#include<vector>#include<stack>#include<bitset>#include<cstdlib>#include<cmath>#include<set>#include<list>#include<deque>#include<map>#include<queue>#define Max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))#define Min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))using namespace std;typedef long long ll;const double PI = acos(-1.0);const double eps = 1e-6;const int INF = 1000000000;const int mod = 10007;const int maxn = 100;ll T,n,m;typedef vector<int> vec;typedef vector<vec> mat;mat mul(mat &a, mat &b) {    mat c(a.size(), vec(a[0].size()));    for(int i = 0; i < a.size(); i++) {        for(int k = 0; k < b.size(); k++) {            for(int j = 0; j < b[0].size(); j++) {                c[i][j] = (c[i][j] + a[i][k]*b[k][j]) % mod;            }        }    }    return c;}mat pow(mat a, ll n) {    mat b(a.size(), vec(a[0].size()));    for(int i = 0; i < a.size(); i++) {        b[i][i] = 1;    }    while(n > 0) {        if(n & 1) b = mul(b, a);        a = mul(a, a);        n >>= 1;    }    return b;}int main() {    scanf("%d",&T);    mat a(3, vec(3));    while(T--) {        scanf("%lld",&n);        a[0][0] = 2; a[0][1] = 1; a[0][2] = 0;        a[1][0] = 2; a[1][1] = 2; a[1][2] = 2;        a[2][0] = 0; a[2][1] = 1; a[2][2] = 2;        a = pow(a, n);        printf("%d\n",a[0][0]);    }    return 0;}