特殊排列的算法

全排列是集合中全部元素的排列，并且每一个排列中的元素都不会重复。实际应用中，还会遇到各种特殊的排列，例如集合中一部分元素的排列，允许元素重复的排列等。

现在来看一看产生各种特殊排列的算法。

 

递归形式的回溯算法如下：

//全排列（递归）

//输入：排列元素个数n

//输出：n个元素的全体排列

#include<iostream>

#include <iomanip>

using namespace std;

 

void perm(int *,int);

void output(int *,int);

int total;

 

int main(void)

{

freopen("in.dat","r",stdin);

int n,*p;

while(cin>>n)

{

p=new int[n];

total=0;

backdate(p,n);

}

return 0;

}

 

void backdate(int *p,int n,int k)      //递归生成排列

{

if(k==n)                     //如果排列的n个元素的值都已选定

output(p,n);             //输出排列

else                       //否则   

for(int i=1;i<=n;i++)       //从1到n中为p[k]选取一个值i

{

for(int j=0;j<k;j++)    //所选的i是否与已选元素的值重复

if(p[j]==i)

break;

if(j==k)             //不重复

{

p[k]=i;         //选定 

backdate(p,n,k+1); //继续为下一个元素p[k+1]选取值

}

}

}

 

void output(int *p,int n)

{

cout<<setw(5)<<++total<<": ";

for(int i=0;i<n;i++)

cout<<setw(3)<<p[i];

cout<<endl;

}

 

生成n个元素的全排列过程中，有两个必要的条件：第一，n个排列元素的之都要选定，第二，n个排列元素要互不相同。既然如此，只要有其中一个条件发生变化，或两个条件都改变，所生成的排列就不再是全排列了。因此，可以从特殊排列的要求出发，改变排列元素的检验条件，就可以生成所需要的排列。

一．从n个不同元素中区m（m≤n）个的排列

在n个不同元素中，任选m个元素的排列可称为部分排列或选排列。显然，m≤n。如果m=n，那么就是全排列，所以，如果不做特别说明，可以认为m<n。

在n个元素的全排列中，每次所选取的元素个数必须要达到元素总数n，才输出一个排列。那么，现在只要须选定m个元素，就输出一个排列，所得的排列就是一个n个元素中选取m个元素的排列了。

以回溯法的递归程序为例，只要将代码按照代码中的黑体部分改变即可。

//n个元素取m个的排列（递归）

//输入：元素总数n，排列元素个数m

//输出：n个元素取m个的全体排列

#include<iostream>

#include <iomanip>

using namespace std;

 

void perm(int *,int);

void output(int *,int);

int total;

 

int main(void)

{

freopen("in.dat","r",stdin);

int n,m,*p;

while(cin>>n>>m)

{

p=new int[n];

total=0;

backdate(p,n,m,0);

}

return 0;

}

 

void backdate(int *p,int n,int m,int k)  //递归生成排列

{

if(k==m)                      //如果排列中有m个元素的值被选定

output(p,m);              //输出排列

else                         //否则   

for(int i=1;i<=n;i++)         //从1 到n中为元素p[k]选取一个值

{

for(int j=0;j<k;j++)      //所选的值i是否与已选元素的值重复

if(p[j]==i)

break;

if(j==k)              //不重复

{

             p[k]=i;          //p[k]取值i 

backdate(p,n,m,k+1); //继续为下一个元素选取值

}

}

}

 

void output(int *p,int n)

{

cout<<setw(5)<<++total<<": ";

for(int i=0;i<n;i++)

cout<<setw(3)<<p[i];

cout<<endl;

}

 

二．允许元素重复的全排列

一般情形，全排列中所有的元素都不相同。如果允许排列的元素重复，那就是允许可重复的排列。对于允许重复的全排列，只需要将生成全排列的算法中，将检验排列元素重复的代码去掉即可。

//元素可重复全排列（递归）

//输入：排列元素个数n

//输出：n个元素可重复的全体排列

#include<iostream>

#include <iomanip>

using namespace std;

 

void perm(int *,int);

void output(int *,int);

int total;

 

int main(void)

{

freopen("in.dat","r",stdin);

int n,*p;

while(cin>>n>>m)

{

p=new int[n];

total=0;

backdate(p,n,0);

}

return 0;

}

 

void backdate(int *p,int n,int k)      //递归生成排列

{

if(k==n)                     //如果排列的n个元素的值都已选定

output(p,n);             //输出排列

else                        //否则   

for(int i=1;i<=n;i++)       //从1 到n中为元素p[k]选取一个值

{

// for(int j=0;j<k;j++)    //所选的值i是否与已选元素的值重复

// if(p[j]==i)

// break;

// if(j==k)             //不重复

{

p[k]=i;         //p[k]取值i  

backdate(p,n,k+1); //继续为下一个元素选取值

}

}

}

 

void output(int *p,int n)

{

cout<<setw(5)<<++total<<": ";

for(int i=0;i<n;i++)

cout<<setw(3)<<p[i];

cout<<endl;

}

 

三．指定元素可重复的全排列

如果在n个元素的全排列中，有一个元素可重复，而其余的元素不重复，生成这样的全排列。

在生成全排列的过程中，对每一个排列的元素，都要检验他是否与前面选出的元素重复，以此来保证每一个元素不会重复出现。既然如此，在要求某一个元素可以重复的情形，可以不对该元素进行重复出现的检验，它就会重复出现在排列中了。

//指定元素可重复的全排列

//输入：元素个数n，指定可重复元素x

//输出：要求的排列

#include <iostream>

#include <iomanip>

using namespace std;

 

void perm(int*,int,int,int);

void output(int*,int);

int total;

 

int main(void)

{

int n=5,x=3,*p;             //x是指定可重复的元素

p=new int[n];

fill_n(p,n,0);

total=0;

perm(p,n,x,0);

return 0;

}

 

 

void output(int *p,int n)

{

cout<<setw(5)<<++total<<":  ";

for(int i=0;i<n;i++)

cout<<setw(2)<<p[i];

cout<<endl;

}

 

void perm(int *p,int n,int x,int k)

{ 

if(k==n)                       //n个排列元素都已选定

output(p,n);              //输出

else 

for(int i=1;i<=n;i++)     

{                   

for(int j=0;j<k;j++) 

if(p[j]!=x && p[j]==i) //检查除了x以外的元素是否重复

break;        //退出循环

if(j==k)               //除了x其余元素不重复

{

p[k]=i;            //p[k]取值i     

perm(p,n,x,k+1);    //继续选取下一个元素

}

}

}

 

如果可还指定了可重复的元素的个数，则要在输出排列之前，检查该元素重复的次数，符合要求的排列就输出。

#include <iostream>

#include <iomanip>

using namespace std;

 

void perm(int*,int,int,int);

void output(int*,int);

int total;

 

int main(void)

{

int n=5,x=3,s,*p;             //x是指定可重复的元素，s是重复次数

p=new int[n];

fill_n(p,n,0);

total=0;

perm(p,n,x,s,0);

return 0;

}

 

 

void output(int *p,int n)

{

cout<<setw(5)<<++total<<":  ";

for(int i=0;i<n;i++)

cout<<setw(2)<<p[i];

cout<<endl;

}

 

void perm(int *p,int n,int x,int k)

{ 

if(k==n)                       //n个排列元素都已选定

    {

for(int i=0,t=0;i<n;i++)       //计算指定元素的重复次数 

if(p[i]==x)

t++;

if(t==s)                  //如果符合要求

output(p,n);         //输出

 

}                

else

       for(int i=1;i<=n;i++)     

{                   

for(int j=0;j<k;j++) 

if(p[j]!=x && p[j]==i) //检查除了x外的元素是否发生重复

break;        

if(j==k)               //除了x外的元素不重复

{

p[k]=i;            //p[k]取值i     

perm(p,n,x,k+1);    //继续选取下一个元素

}

}

}

注意，对重复元素重复次数的检查是在不同位置进行的，原因是重复元素的重复次数只有在排列的元素全部选定，才能正确计算。

按照类似的方法，可以实现更复杂的排列。