第一讲 01背包问题 vijos P1025小飞侠的游园方案

P1025小飞侠的游园方案

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描述

经过抽签选择，小智将军第一个进入考场。

菜虫：（身上散射出华贵（?）的光芒）欢迎你，第一位挑战者！！
小智：……（走到菜虫身后，关灯）女王陛下，虽然我们国家现在很富裕，但也请您不要浪费电来用这么大功率的灯泡。

菜虫（汗）：啊啊~~爱卿所言甚是~~那么，你的题目是……我们的情报组织探听到敌人的重要将领——小飞侠星期天会邀他的灵儿妹妹到公园去玩。公园里有很多娱乐项目，可并不是每一项他们都喜欢，所以他们对每一项都进行了“喜欢度”的评分。因为小飞侠也是一个了不起的角色，所以他一定会选择在有限时间内的最好的方案。现在要你做的就是找出在规定时间内他们选择哪几项不同的活动可以使其“喜欢度”之和达到最大，据此我们就可以知道他会在哪些地方出现，从而在那里派人看守了。

小智：（灯泡一亮）每个地方都派人看守不就行了？！
“当~~~” 
菜虫：（手执八公分直径炒锅，筋）……你是白痴吗？-_-##（都派人去看守的话我们会有多少桌三缺一？！）听好了，输入格式是第一行一个正整数N（1<=N<=100）表示总共的娱乐项目数；第二行一个正整数表示规定的时间t（0<t<1000）；下面有N行，其中第i+2行有两个正整数fi（0<=fi<=100）和ti（0<ti<=100），分别表示对项目i的“喜欢度”和它所耗费的时间。输出的时候在第一行输出最大的“喜欢度”之和，下面给你一个样例：

样例1

样例输入1[复制]

351 25 54 3

样例输出1[复制]

5

基本思路
有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。
这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。

用子问题定义状态：即f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是：

f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}

这个方程非常重要，基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。所以有必要将它详细解释一下：“将前i件物品放入容量为v的背包中”这个子问题，若只考虑第i件物品的策略（放或不放），那么就可以转化为一个只牵扯前i-1件物品的问题。如果不放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物 品放入容量为v的背包中”，价值为f[i-1][v]；如果放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的容量为v-c[i]的背包中”，此时能获得的最大价值就是f[i-1][v-c[i]]再加上通过放入第i件物品获得的价值w[i]。

一般代码：

#include<stdio.h>#include<string.h>int main(){int dp[1000],w[100],c[100];int i,j,n,v;memset(dp,0,sizeof(dp));scanf("%d%d",&n,&v);for(i=0;i<n;i++)scanf("%d%d",&w[i],&c[i]);for(i=0;i<n;i++)//第i个物体 for(j=v;j>=c[i];j--)//背包容量V if(dp[j]<dp[j-c[i]]+w[i])   dp[j]=dp[j-c[i]]+w[i];printf("%d\n",dp[v]);return 0;} 

改进代码：