【LeetCode-258】Add Digits（C++）

题目要求：给出一个非负整数num，重复的将num各个位上的数字加在一起，一直得到的结果是个位数。

                   如：num=38，则3+8=11,1+1=2。最后得到个位数字2.

                   令：你可以不用循环和递归完成这道题吗？并要求其时间复杂度为O(1)

解题思路：方法1：本来我是按照最一般的方法来做的，就是将38转换为字符串，然后字符串上的各个字符转换为数字相加，加到一起之后再转换为字符串，判断字符串的字符                                    数是不是1，如果是就结束，不是的话继续循环。

                    方法2：这种方法就比较简单了，这种方法是用了一个规律：任意一个整数关于9取余就等于这个整数各个位的数加在一起的数关于9取余。即：

                                  设自然数N=a[n]a[n-1]…a[1]a[0]，其中a[0]、a[1]、…分别是N的个位，十位…上的数。再设M=a[0]+a[1]+…+a[n]。则M mod 9=N mod 9。

                                  证明：
 　　              ∵ N=a[n]a[n-1]…a[0]=a[n]*10^n+a[n-1]*10^(n-1)+…+a[1]*10+a[0].
 　　              又∵ 1 mod 9=1 mod 9, 

                          10 mod 9=1 mod 9,

                          10 mod 9=1 mod 9,

                                           … 

                         10^n mod 9 =1 mod 9.
     　　         上面这些等式两边分别同乘以a[0]、a[1]、a[2]、…、a[n]，再相加得：
 　　　　        a[0]+a[1]*10+…+a[n]*10^n≡(a[0]+a[1]+…+a[n])(mod 9)，
  　　　　       即 M mod 9=N mod 9，得证。

                   根据上面的定理我们可知，重复的将num的各个位上的数字加在一起，不管加了多少次得到的数字关于9取余都是相等的，都等于最后得到的个位                    数字，即38 mod 9=11 mod 9 =2 mod 9 =2。也就说这个过程中得到的各个数是关于9同余的。所以我们只需要把num关于9取余就可以得                    到结果了，但是要注意当余数为0时应当返回9。

程序实现：方法1：

class Solution {public:int addDigits(int num) {string s = num2str(num);int n;while (s.size()>1){n = 0;//一开始写程序的时候忘记每次循环的过后要把n置零了，导致程序超时，结果错误。for (int i = 0; i < s.size(); i++){n = n + (int) s[i] - 48;}s = num2str(n);}return (int) s[0] - 48;}string num2str(int i){stringstream ss;ss << i;return ss.str();}};

            方法2：

class Solution {public:int addDigits(int num) {if(num==0)   return 0;else   return num%9==0?9:num%9;}};

当然也可以直接return 1+（num-1）%9;

总结：在方法1上面浪费了很多时间，一开始以为是string.size()返回值不是整形的所以与有符号的整形数1进行比较会出问题，所以才没办法跳出循环，但是单步执行了一下才发行是因为每次循环过后没有将n置零，这样就会在上一次循环过后的n值叠加到结果上面，所以就会出问题。不过学会了怎么调试怎么加断点怎么单步执行。方法2是上网上搜了一下才知道这个规律的，这种加的方法得到的数称为digital root 数字根。

参考：

     http://www.cnblogs.com/Rinyo/archive/2012/12/20/2826755.html

     http://blog.csdn.net/xudli/article/details/47786855