椭圆上一个动点P.问P在哪里时∠F1PF2最大的巧妙想法

第一个巧妙的证明可能有点不严格不过还是可以看看的，囧

证明：作F1AF2的外接圆，则圆和椭圆相切（因为交于一点且有公共切线）
设P为椭圆上任意一点，连接F1P,F2P，F1P交圆于E
由外角大于内角知∠F1AF2=∠F1EF2>∠F1PF2证毕

第二个想法也很巧妙

证明：连结F1P，作F2关于F1P的对称点F′2，则F1F2‘长度是定值2a，
以F1为原点，2a为半径作圆（如图）,注意到了吗，2∠F1F′2F2=∠F1PF2
只需求∠c最大值即可
由正弦定理：

F1F2sin∠F1F′2F2=F1F2sin∠F′2F2F1=2asin∠F′2F2F1

即sin∠F1F′2F2=定值 ⋅sin∠F′2F2F1（而∠F′2F2F1=90度时sin最大，有∠F1F′2F2最大，显然∠F1F′2F2小于90度，保证sin单调性啦）
而PF2F1=90度时F1P=F2P=PF′2
即在短轴顶点上取得最大值 证毕

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