连续函数的卷积分的详细形象解释

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作者：中微子
链接：https://www.zhihu.com/question/20500497/answer/45708002
来源：知乎

不要试图直接从公式上去思考“翻转”的意义，回到问题的起源，你就会豁然开朗了。

打个比方，往平静的水面里面扔石头。我们把水面的反应看作是一种冲击响应。水面在t=0时刻石头丢进去的时候会激起高度为h(0)的波纹，但水面不会立马归于平静，随着时间的流逝，波纹幅度会越来越小，在t=1时刻，幅度衰减为h(1), 在t=2时刻，幅度衰减为h(2)……直到一段时间后，水面重复归于平静。

从时间轴上来看，我们只在t=0时刻丢了一块石头，其它时刻并没有做任何事，但在t=1,2….时刻，水面是不平静的，这是因为过去（t=0时刻）的作用一直持续到了现在。

那么，问题来了：

如果我们在t=1时刻也丢入一块石子呢？此时t=0时刻的影响还没有消失（水面还没有恢复平静）新的石子又丢进来了，那么现在激起的波浪有多高呢？答案是当前激起的波浪与t=0时刻残余的影响的叠加。那么t=0时刻对t=1时刻的残余影响有多大呢？

为了便于说明，接下来我们作一下两个假设：

1． 水面对于“单位石块”的响应是固定的

2． 丢一个两倍于的“单位石块”的石块激起的波纹高度是丢一个石块的两倍（即系统满足线性叠加原理）

现在我们来计算每一时刻的波浪有多高：

• t=0时刻：
  

y(0)=x(0)*h(0);

• t=1时刻：
  

当前石块引起的影响x(1)*h(0);

t=0时刻石块x(0)引起的残余影响x(0)*h(1);

y(1)=x(1)*h(0)+ x(0)*h(1);

• t=2时刻：
  

当前石块引起的影响x(2)*h(0);

t=0时刻石块x(0)引起的残余影响x(0)*h(2);

t=1时刻石块x(1)引起的残余影响x(1)*h(1);

y(2)=x(2)*h(0)+ x(1)*h(1)+x(0)*h(2);

……

• t=N时刻：
  

当前石块引起的影响x(N)*h(0);

t=0时刻石块x(0)引起的残余影响x(0)*h(N);

t=1时刻石块x(1)引起的残余影响x(1)*h(N-1);

y(N)=x(N)*h(0)+ x(N-1)*h(1)+x(N-2)*h(2)+…+x(0)*h(N);

这就是离散卷积的公式了

理解了上面的问题，下面我们来看看“翻转”是怎么回事：

当我们每次要丢石子时，站在当前的时间点，系统的对我们的回应都是h(0),时间轴之后的（h(1),h(2).....）都是对未来的影响。而整体的回应要加上过去对于现在的残余影响。

现在我们来观察t=4这个时刻。

站在t=0时刻看他对于未来（t=4）时刻(从现在往后4秒)的影响，可见是x(0)*h(4)

站在t=1时刻看他对于未来（t=4）时刻的影响(从现在往后3秒)，可见是x(1)*h(3)

站在t=2时刻看他对于未来（t=4）时刻的影响(从现在往后2秒)，可见是x(2)*h(2)

站在t=3时刻看他对于未来（t=4）时刻的影响(从现在往后1秒)，可见是x(3)*h(1)

所以所谓的翻转只是因为你站立的现在是过去的未来，而因为h(t)始终不变，故h(1)其实是前一秒的h(1)，而前一秒的h(1)就是现在，所以从当前x(4)的角度往左看，你看到的是过去的作用。h(t)未翻转前，当从h(0)往右看，你看到的是现在对于未来的影响，当翻转h(t)之后，从h(0)往左看，你依次看到的越来越远的过去对现在的影响，而这个影响，与从x=4向左看的作用影响相对应（都是越来越远的过去），作用与作用的响应就对应起来了，这一切的本质，是因为你站立的时间观察点和方向在变。

好像有点绕，其实@林麦讲的蛮清楚的了，借用了他的图，题主自己体会一下