矩阵相似的意义和解释

来源：互联网发布：云梦网络建站怎么样编辑：程序博客网时间：2024/04/30 16:03

两个n阶矩阵（方阵）相似，具有什么意义呢？
矩阵可以表示线性变换，基于此，来解释一下：

{a1,…,an}, {b1,…,bn} 是n维向量空间的两组基。
{b1,…,bn}可以由{a1,…,an}线性表出：(b1,…,bn) = (a1,…,an) P
其中，

b i = P 1 i a 1 + \dots + P n i a n = (a 1, \dots, a n) ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ P 1 i ⋮ P n i ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ P i

即 bi 在{a1,…,an}下的坐标为Pi
P 叫做基变更矩阵。

该n维向量空间上的线性变换 L :
L(a+b) = L(a) + (b)
L(ka) = k L(a)

同理，[ L(a1),…,L(an) ] 可由{a1,…,an}线性表出：[ L(a1),…,L(an) ]=(a1,…,an) A
其中，

L (a i) = A 1 i a 1 + \dots + A n i a n = (a 1, \dots, a n) ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ A 1 i ⋮ A n i ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ A i

即 L(ai) 在{a1,…,an}下的坐标为 Ai

同时，A是线性变换 L 在基底{a1,…,an}下的矩阵表示。Why？请看这里。
同理，[ L(b1),…,L(bn) ]=(b1,…,bn) B，B是线性变换 L 在基底{b1,…,bn}下的矩阵表示。
所以，A，B 是同一个线性变换在不同基下的矩阵。

综上所述，{a1,…,an}, {b1,…,bn} 是n维向量空间的两组基，(b1,…,bn) = (a1,…,an) P,
L 是其上的线性变换，[ L(a1),…,L(an) ]=(a1,…,an) A，[ L(b1),…,L(bn) ]=(b1,…,bn) B

\Rightarrow b i = (a 1 \dots a n) ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ P 1 i ⋮ P n i ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ \Rightarrow L (b i) = [L (a 1) \dots L (a n)] ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ P 1 i ⋮ P n i ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ \Rightarrow [L (b 1) \dots L (b n)] = [L (a 1) \dots L (a n)] P \Rightarrow (b 1 \dots b n) B = (a 1 \dots a n) A P \Rightarrow (a 1 \dots a n) P B = (a 1 \dots a n) A P \Rightarrow P B = A P \Rightarrow B = P - 1 A P

Matrices A and B are similar.

⇔B=P−1AP

⇔PB=AP,Pisinvertible

{a1,…,an} is a (ordered) basis. Let (b1,…,bn) = (a1,…,an) P, so {b1,…,bn} is a basis too.

(a1,…,an)A = (a1,…,an)(A1,…,An) = [ (a1,…,an)A1 … (a1,…,an)An ],
If we consider (a1,…,an)Ai is L(ai), linear transformation of ai,
then A is a matrix represents a linear transform L under basis {a1,…,an}

(b1,…,bn)B=(b1,…,bn)(B1,…,Bn)=[ (b1,…,bn)B1 … (b1,…,bn)Bn ]
If we consider that (b1,…,bn)Bi is K(bi), linear transformation of bi,
then B is a matrix represents a linear transform K under basis {b1,…,bn}

⇒PB=AP
⇒(a1⋯an)PB=(a1⋯an)AP
⇒(b1⋯bn)B=(a1⋯an)AP
⇒[K(b1)⋯K(bn)]=[L(a1)⋯L(an)]P

⇔(b1⋯bn)=(a1⋯an)P
⇒[L(b1)⋯L(bn)]=[L(a1)⋯L(an)]P

Because {b1,…,bn} is a basis,
therefore K=L.

0 0