决策树

决策是机器学习中分类算法中一种，因为经实验样本训练出一个类似树形的决策规则而由此得名。这种分类算法虽然简单，但是在人类的模式识别中也经常用到，比如给出一个矩形，我们首先判断这是一个平面图形，进而判断这个图形每两条边平行，并且长和宽相等，最终得出矩形。这个算法有一个缺点，就是不能自学习，即只能识别已经学习到的模式，对于新的模式，此算法很可能无法正确做出判断。

在讲到决策树之前，给出信息熵及相关的一些概念，这些主要用于如何挑选局部最优的决策规则，当然还有其它一些衡量决策规则的方法，在此不一一列举，有兴趣的读者可以自行查找相关论文。

1 信息熵

1.1 信息熵的定义：

信息论中的信息熵的数学表达式H(x) = - E[log_2 P(x)] = E[- log_2 P(x) ] ,其中x是随机变量，实际中只能取x_1,x_2,... x_n这样至多可数个观察值，从公式可以知道，信息熵实际是g(x)=-log_2 P(x)的数学期望，它的意义是指观察者对某一个事件结果的未知程度。信息熵越大，对观察者来说结果的不确定越大，从中获取到有用的信息越没有价值；反之，信息熵越小，对观察者来说结果的不确定越小，从中获取到有用的信息越有价值。举个例子，比如现在要猜一个字，如果主持人提示说：

1 这个字有15个笔划

2 这个字是左右结构

3 这个字是'火'字旁

听到这些，你可以还是不知道这个字是什么，也就是说这个字很难猜，或者从这三条信息中无法获得明确的结果，这以认为三条信息价值较小。

但是如果主持人提示说：

1 这个是有15个笔划

2 这个字是火字旁

3 这个字的英文是'Entropy'

听到这些，你立马会想到'熵'字了，以上三条给出的信息提示很明确，很容易就确定是熵字，因此以上三条信息价值很大。

1.2 信息熵的特性：

1 非负性：

H(x) > 0

2 下面引入几个和熵有关的计算

2.1 联合熵：

x , y 是两个随机变量，则这两个随机变量的联合熵

H(x,y) = - E[ log_2 P(x,y)] = E[ -log_2 P(x,y)] = \SUM{ - P(x,y) * log_2 P(x,y) }

2.2 条件熵

x, y 是两个随机变量，见这两个随机变量的条件熵

H(x|y) = - E[ log_2 P(x|y)] = E[ -log_2 P(x|y)] = \SUM { - P(x,y) * log_2 P(x|y) }

信息熵，联合熵，以及条件熵之间的关系：

H(x,y) – H(x) = H(y|x)

上式可这样理解：引入x后y不确定性可看做,x和y两个变量的不确认性中扣除x自身的不确定性。

由上式可以推论：

H(x,y) = H(y|x) + H(x) ,由于H(x) >= 0 ,可得

H(x,y) > = H(y|x)

意思是说：明确部分变量后的不确定性，比什么都不知道的不确定性要小。(虽然看似一句废话，但是在后面还是很有用的)