UOJ169. 【UR #11】元旦老人与数列

线段树

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((٩(//̀Д/́/)۶))这是我见过的最恶心的线段树，最开始还以为有什么巧妙的办法，所以这个blog要比其他的长点，大家耐心<(▰˘◡˘▰)>点看

迷之元旦老人的背景就不管了，就是给你一个数列，4种操作：一段区间加个数，一段区间所有值与一个值取个max，区间查询最小值，因为B数组是单调递减的（与A数组取min），B区间的查询就是求A的历史最小值

暴力O(NM)能得十分（好少），还有二十分没有max操作，线段树模板题，多记一个历史最小值就行。

后面的分数注定这是一道神题 \(▔＾▔)/，其实写法很暴力，主要是复杂度的证明很麻烦，因为正解感觉很多都是暴力修改，好像过不了的样子。

题解

我们定义一个函数f(t)表示t这棵线段树的势能（势能想表达的就是线段树上节点的值的大小的混乱情况，势能越大，也就越混乱，简单表达为：f(t)=∑Ni=1(1(vi≠vleftson)+1(vi≠vrightson))），每一个加操作，最多会让树的势能+2，可以画个楼梯形状的图看看，而每一次max操作，可能会让势能减少，于是根据这个，我们制定一个线段树算法。

线段树上就不只维护lazy标记，最小值等等，我们需要维护这几样东西：

• vai：区间最小值
• lai：最小值的lazy标记
• sai：最小值的lazy标记的最小前缀和（为了维护历史最小值）
• vbi：区间严格次小值（没有就让它等于极大值INF）
• lbi：严格次小值的lazy标记
• sbi：严格次小值的lazy标记的最小前缀和
• hi：历史最大值

因为max操作在改变两个值及其以上时就会降低势能，所以为了节省时间，我们就在f(t)要减少2（要改变两个值）的时候再进行修改，于是就要维护最小值与次小值，加操作和以前一样，两个值两个lazy标记都要变，遇到max操作时，如果只改变一个值(vbi≥D，次小值比D大)，我们就给最小值的标记加上D−vai，当然vai≥D就不用管啦，然后继续后面的操作，如果vbi<D，直接暴力向下修改，直到只用改变一个值的时候。

既然是暴力，那么其中一次修改复杂度可能会达到O(N)，那么总复杂度就会达到O(NM)，但是，如果你这次全部改完，f(t)就会变得很小，下一次就改的很少了，所以说是其实是均摊O(log2N)。

那个lazy标记的前缀和最小值是干什么的？维护历史最小值啊，在下传标记的时候，比如最小值的维护（先不说次小值）：hi=min(hi,vai+safather)，vai=vai+lafather，lai=lai+safather。还有啊，在下传标记的时候，最小值和次小值要分开传，最小值在哪一棵子树上，才往那子树传，否则只传次小值。

这么霸气的线段树连初始化都要好好想一下（其实差不多，反正想一下就行，blog再写就太长了，我都没有耐心写了 ˋ(′～｀”)ˊ），看看代码就行。

代码调了好久，一开始没用堆行线段树，常数很大，比别人跑得慢，极限数据直接T了，我自己的随机数据直接8秒，然后没管这道题了，后来有调了很久，结果迷之AC，什么都没改，迷，(￣ε ￣)，但是自己出的数据还是会超2S，可能是UOJ感觉这种线段树常数比较大，所以N给的小吧。

#include <iostream>#include <cstdlib>#include <cstdio>#include <ctime>using namespace std;const int maxn = 1000000 + 13, INF = 0x7fffffff;int n, m, task, a, b, c, root, pos, da[maxn];int l[maxn], r[maxn], ls[maxn], rs[maxn], start;int va[maxn], vb[maxn], la[maxn], lb[maxn], sa[maxn], sb[maxn], his[maxn];int min(int a, int b) {return a < b ? a : b;}int max(int a, int b) {return a > b ? a : b;}void read(int &a) {    a = 0;    bool judge = false, fu = false;    char c;    while((c = getchar()) != EOF) {        if(c == '-') {fu = true; continue;}        if(c == ' ' || c == '\n') {            if(!judge) continue;            if(fu) a *= -1;            return;             }        a = a * 10 + (c - '0');        judge = true;    }}void helpPush(int x, int i, bool is) {    int LA = la[i], LB = lb[i], SA = sa[i], SB = sb[i];    if(!is) LA = LB, SA = SB;    his[x] = min(his[x], va[x] + SA);    va[x] += LA; if(vb[x] != INF) vb[x] += LB;    sa[x] = min(sa[x], la[x] + SA); sb[x] = min(sb[x], lb[x] + SB);    la[x] += LA; lb[x] += LB;}void pushDown(int i) {    if(!la[i] && !lb[i] && sa[i] >= 0 && sb[i] >= 0) return;    int LS = ls[i], RS = rs[i], VL = va[LS], VR = va[RS];    if(VL == VR) helpPush(LS, i, true), helpPush(RS, i, true);    if(VL < VR) helpPush(LS, i, true), helpPush(RS, i, false);    if(VL > VR) helpPush(LS, i, false), helpPush(RS, i, true);    la[i] = lb[i] = sa[i] = sb[i] = 0;}void update(int i) {    int LS = ls[i], RS = rs[i];    his[i] = min(his[LS], his[RS]);    va[i] = min(va[LS], va[RS]);    int a = max(va[LS], va[RS]), b = min(vb[LS], vb[RS]);    if(va[LS] != va[RS]) vb[i] = min(a, b);    else vb[i] = b;}void builtTree(int &i, int A, int B) {    i = ++pos;    l[i] = A; r[i] = B;    if(A == B) {        va[i] = da[A];        vb[i] = INF;        his[i] = va[i];        return;    }    int mid = (A + B) >> 1;    builtTree(ls[i], A, mid);    builtTree(rs[i], mid + 1, B);    update(i);}void plusOnTree(int i, int A, int B, int val) {    int L = l[i], R = r[i];    if(R < A || L > B) return;    if(A <= L && R <= B) {        va[i] += val; if(vb[i] != INF) vb[i] += val;        la[i] += val; lb[i] += val;        sa[i] = min(sa[i], la[i]); sb[i] = min(sb[i], lb[i]);        his[i] = min(his[i], va[i]);        return;    }    pushDown(i);    plusOnTree(ls[i], A, B, val);    plusOnTree(rs[i], A, B, val);    update(i);}void maxOnTree(int i, int A, int B, int val) {    int L = l[i], R = r[i];    if(R < A || L > B) return;    if(A <= L && R <= B && vb[i] > val) {        if(va[i] >= val) return;        la[i] += (val - va[i]);        va[i] = val;        return;    }    pushDown(i);    maxOnTree(ls[i], A, B, val);    maxOnTree(rs[i], A, B, val);    update(i);}int Query(int i, int A, int B, bool HIS) {    int L = l[i], R = r[i];    if(R < A || L > B) return INF;    if(A <= L && R <= B) {        if(HIS) return his[i];        return va[i];    }    pushDown(i);    int temp = min(Query(ls[i], A, B, HIS), Query(rs[i], A, B, HIS));    update(i);    return temp;}int main() {    scanf("%d%d", &n, &m);    for(int i = 1; i <= n; i++) read(da[i]);    builtTree(root, 1, n);    for(int i = 1; i <= m; i++) {          read(task); read(a); read(b);        if(task <= 2) read(c);        if(task == 1) plusOnTree(root, a, b, c);        if(task == 2) maxOnTree(root, a, b, c);        if(task == 3) printf("%d\n", Query(root, a, b, false));        if(task == 4) printf("%d\n", Query(root, a, b, true));    }    return 0;}