有限差分法Eluer算法（求解常微分方程）

有限差分法C++实现

几种Eluer算法

在MATLAB 里面写一个程序：要求用 隐式欧拉法(backward euler) 去解决常微分方程。 下面是两个例题， 1. x' = - 2x ; 还给出准确值是： x= e^(-2t) 要求： 求出t=0， 这是一个初始值，然后算出在区间[0,5] 的值。 还给出 步长(step size) h=0.1  2. x' = xsint - 2x^2; 给出初始条件 x(0) = 0  要求： 求出在区间[0,1] 的值，比较 h=0.01 和 h=0.001 在 t = 1 这里。1.新建一个m文件，编写隐式Euler法的程序：function [x,y]=Implicit_Euler(odefun,xspan,y0,h,varargin)% 隐式Euler公式求解常微分方程 % 输入参数： % ---odefun：微分方程的函数描述 % ---xspan：求解区间[x0,xn] % ---y0：初始条件 % ---h：迭代步长 % ---p1,p2,…：odefun函数的附加参数 % 输出参数： % ---x：返回的节点，即x=xspan(1):h:xspan(2) % ---y：微分方程的数值解x=xspan(1):h:xspan(2);y(1)=y0; for k=1:length(x)-1   z0=y(k)+h*feval(odefun,x(k),y(k),varargin{:});   z1=inf;   while abs(z1-z0)>1e-4     z1=y(k)+h*feval(odefun,x(k+1),z0,varargin{:});     z0=z1;   end    y(k+1)=z1;end x=x;y=y;2.在命令窗口直接调用上面的程序，求解常微分问题： （1） f=@(t,x)-2*x; [t,x]=Implicit_Euler(f,[0 5],1,0.1); t1=0:0.1:5; x1=exp(-2*t); plot(t1,x1) hold on plot(t,x,'k.-','markersize',16) legend('解析解','隐式Euler求解结果') xlabel('t');ylabel('x');（2）此题给出的初值好像有问题吧，x0=0的话，求解的结果都是为0，所以我改用x0=1求解试了一下： f=@(t,x)x*sin(t)-2*x^2; [t,x]=Implicit_Euler(f,[0 1],1,0.01); [t1,x1]=Implicit_Euler(f,[0 1],1,0.001); e=x1(end)-x(end) >>e =  -0.0029plot(t,x,'r:') hold on plot(t1,x1,'g--') xlabel('t');ylabel('x') legend('积分步长为0.01','积分步长为0.001') 利用Matlab实现用：    向前Euler方法    向后Euler方法    改进的Euler方法    梯形公式求方程        y'=y-2x/y,   0<x<1        y(0）=1,的数值解{yn}在命令窗口的程序：f=@(x,y)y-2*x/y; [x,y]=euler_xh(f,[0 5],1,0.1); x1=0:0.1:5; y1=0:0.1:5; plot(x1,y1,'r.-','markersize',16) hold on plot(x,y,'k.-','markersize',16) legend('解析解','隐式Euler求解结果') xlabel('t');ylabel('x');楼主您好，我给您个前向欧拉法和改进欧拉法的%  forward euler methodfunction  [ x, y ] = eulerf ( f, y0, a, b, n )y ( 1 ) = y0 ;h = ( b - a ) / n;x = a : h : b;for i = 1 : n    y ( i +1 ) = y ( i ) + h * feval ( f, x ( i ), y ( i ) ) ;end;% Improved euler methodfunction  [ x, y ] = euleri ( f, y0, a, b, n )y ( 1 ) = y0;h = ( b - a ) / n;x = a : h : b;for i = 1 : n    yt = y ( i ) + h * feval ( f, x ( i ), y ( i ) );    yi = y ( i ) + h * feval ( f, x ( i + 1 ), yt );    y ( i + 1 ) = 1 / 2 * ( yt + yi );end;至于后向欧拉法和梯形公式法，我建议针对f(x,y)的实际函数进行编译，在每个循环步骤中都需要求解方程，解出y(i+1)的值，但是有时候y(i+1)需要用数值解法来求解，即使可以用solve函数，也会比较慢。。。如果编辑这两种方法的程序，我再给您贴个后向欧拉法的，需要中间预测y值：% backward euler methodfunction  [ x, y ] = eulerb ( f, y0, a, b, n )y ( 1 ) = y0;h = ( b - a ) / n;x = a : h : b;for i = 1 : n    yt = y ( i ) + h * feval ( f, x ( i ), y ( i ) );    y ( i +1 ) = y ( i ) + h * feval ( f, x ( i ), yt );end;下面给您贴两个循环体内迭代求解y(i+1)值的后向欧拉法和梯形公式的程序：%  Backward euler methodfunction  [ x, y ] = trapzd ( f, y0, a, b, n )y ( 1 ) = y0;h = ( b - a ) / n;x = a : h : b;for i = 1 : n    yt = y ( i ) + h * feval ( f, x ( i ), y ( i ) );    done = 0;    while  ~done        y ( i + 1 ) = y ( i ) + h * feval ( f, x ( i ), yt );        done = ( abs ( y ( i + 1 ) - yt ) < 1e-6 );        yt = y ( i + 1 );    end;end;%   trapezoidal methodfunction  [ x, y ] = trapzd ( f, y0, a, b, n )y ( 1 ) = y0;h = ( b - a ) / n;x = a : h : b;for i = 1 : n    yt = y ( i ) + h * feval ( f, x ( i ), y ( i ) );    done = 0;    while  ~done        y ( i + 1 ) = y ( i ) + 0.5 * h * ( yt + feval ( f, x ( i ), yt ) );        done = ( abs ( y ( i + 1 ) - yt ) < 1e-6 );        yt = y ( i + 1 );    end;end;额 已经搞定了 不过还是谢谢 顺便附上向后欧拉和梯形公式function [x,y]=euler_xh(f,r,y0,h) %f为求解方程,r为x范围,y初值y0,h为步长x=r(1):h:r(2);y0=1;y(1)=y0;for n=1:length(x)-1    y(n+1)=y(n)+h*feval(f,x(n),y(n));    y(n+1)=y(n)+h*feval(f,x(n+1),y(n+1));endx=x';y=y';function [x,y]=Traprl(f,r,y0,h) %f为求解方程,r为x范围,y初值y0,h为步长x=r(1):h:r(2);y0=1;y(1)=y0;for n=1:length(x)-1    y(n+1)=y(n)+0.01*feval(f,x(n),y(n));    y(n+1)=y(n)+0.005*(feval(f,x(n),y(n))+feval(f,x(n+1),y(n+1)));endy=y'