CRC 的简介

CRC，Cyclic Redundancy Check，中文称为“循环冗余校验”。
它的应用很广，一般常见的说法都是用于通信。其实，在压缩、解压文件的时候，也普遍用到了它。
另外，单片机系统在掉电时，一般都要把当前有用的状态信息，保存在 EEPROM 中，为了保证信息的正确，也可以用 CRC 来检验。

1．CRC 的作用

还是用通信来说明 CRC 的作用。

由于线路上的干扰，通信时可能会有错码，那么当接收方收到了信息，怎么来确认这些信息就是正确的呢？
为了确认通信的正确性，发送方还要在信息之后，再发送一组“校验码”，这些校验码，是用前面的信息数据算出来的。
接收方收到信息数据和校验码之后，再按照同样的算法来计算，如果结果符合规则，就认为这次数据传输是正确的。

2．CRC 的计算规则

设信息数据 M(x)有 k 位，后面的 CRC 校验码为 r 位，那么总共发送的位数则为 n = k + r 位，因此，这种编码又叫(n, k)码。

利用 k 位信息码，求取 r 位 CRC 码时，需要先确定一个“生成多项式 G(x)”。

G(x) 也是一个二进制数，要求最高位和最低位都是 1 才行。

在不同的标准里面，G(x)的数值是不同的。常见的 G(x) 如下：

CRC-CCITT:  G(x) = X16 + X12 + X5 + 1 = 1 0001 0000 0010 0001 = 1 1021H
CRC-16:     G(x) = X16 + X15 + X2 + 1 = 1 1000 0000 0000 0101 = 1 8005H

CRC-32:     G(x) = X32+X26+X23+X22+X16+X12+X11+X10+X8+X7+X5+X4+X2+X1+1
                 = 1 0000 0100 1100 0001 0001 1101 1011 0111  = 04C1 1DB7H

选定了 G(x) 之后，就可以用信息数据 M(x) 除以 G(x)，得出的余数 R(x) 就是 r 位的 CRC 码。
注意，这里使用除法是“模2除”，其实就是“异或”算法。

把 M(x) 和 r 位的 CRC 码合并在一起(即(n, k)码)，再除以 G(x)，得出的余数就是 0。
如果这组(n, k)码中含有错误，再除以 G(x)，得出的余数就不是 0。

根据余数的状态，就可以判定传送的数据信息是否正确。

3．CRC 的算法举例

例：已知信息码为 M(x) = 1100，生成多项式 G(x) = x3 + x + 1，求 CRC 码，及(n, k)码。

解：

根据 G(x) = x3 + x + 1，可知除数为 1011；余数(CRC 码)应为 3 位二进制数。

那么，先在 M(x) 后面填写上 3 个 0，即为：1100 000，再用它“模2除” 1011。

现在填写的这些 0，将来是要用 CRC 码来填充，组成的(n, k)码的。这个步骤也可以写成：

　　　　CRC 码 = M(x) * x3  /  G(x)

乘以 x3，就代表把 M(x) 左移 3 位，后面填上 3 个 0。　/，代表“模2除”。

计算的竖式如下图的左式：

 

在此得出的余数 R(x) = 010 即为 CRC 码。

那么，(n, k)码 = M(x) * x3 + R(x) = 1100 000 + 010 = 1100 010。

4．CRC 的验证

还是利用上面的例题来说明验证的方法。

当收到的代码是：1100 010，按照同样的方法求余数，竖式如上图中的右式。

余数为 0，就说明数据传输是正确的。

5．用 CRC 的检错

当有一位数是错误的，模2除的余数，就不是 0 了，可见下面的竖式：

 

可以看出，发生错误的位置不同，余数也不同。

使用不同的信息码 M(x) 来实验，能够看出，错误位置和余数的关系是固定的，不会因为信息码的不同而变化。

如果知道了错误的位置，是不是就可以纠错呢？不可，因为难以确定错误是不是仅仅有一位，错了更多的位，余数并不会对此有所表现。

因此，有人说利用 CRC 的方法可以纠错，这是不对的，CRC 只能用于检错，不能用于纠错。

CRC 检错的能力和生成多项式的位数有关，位数越多，检错的概率越高。