【WC模拟1.23】Random

Description

小明来到一座城市。这个城市是一个N个顶点的无向图，但是这个城市还没有边。小明拥有魔法，他想通过魔法修建边让这个城市连通。这个魔法以轮来描述。在每一轮，设小明处于顶点i，那么小明有Pi的概率可以在图中修建一条边，这条边从C(n,2)条边中等概率地选出。然后，顶点i有一些传送门可达其他顶点，小明从中等概率地选择一个并传送。小明开始时在顶点1。当城市里的所有点连通时，小明停止使用魔法。请你帮他计算出期望使用的魔法轮数。

Solution

很显然，这是一道期望题。
由于期望的可加性，我们尽量往DP方向想。
这题不存在暴力一说，基本上列出来之后，选择正确的搜索方式，这题就能过了。

我们考虑怎么设计状态。
乍一看我们似乎有两个事件：传送以及修建边
那到底是不是应该把两个事件的概率相乘呢？或者是相加？
到这里，就是思考期望题的一个很大的误区。

两个独立的事件，若同时导致同一个结果，则相加；若为因果关系，则相乘。
前提：独立的事件

在本题中，两个事件通过Pi相互联系，修边的概率与当前所在点有关，所以这两个事件既不能相加，也不能相乘。这是两个互相联系的事件。

那怎么办？如果我们设计一个状态，把这两个事件的信息全部存下来，再讨论转移，这样就可以了。
啊怎么会有两个事件？DP的时候你只有一维状态吗？一样的道理。
我们直观地想F[i][s]表示在顶点i，城市的联通情况为s的状态。
那么转移就很简单了，当前轮可以有两种可能，建边or不建边。建边的情况枚举建哪条边，算出相应的概率以及转移到的新的s′或者没改变连通性转移回s，对上述概率再乘以转移到其他点的概率，写出方程高斯消元即可。
看起来很好做吧，事实告诉你直接存联通情况是不行的，最小表示法之后都有几十w种状态。
那么我们有没有必要存下所有的点的联通情况呢？
我们不难观察到，每次选边都是随机的等概率的，与点的编号无关。
也就是说，我们不需要知道谁和谁联通，我只需要知道每个联通块的大小就好。
每次枚举建边只需要判断这条边是哪两个联通块内的边即可。
还有一些算概率的细节处理，慢慢推可以推出来。

到这里，这题看起来就完美解决了。
那么怎么高斯消元呢？
(i∗s)3？
显然
这是不行的。我们不妨假设每个状态s之间是没有联系的，我们就可以通过s来转移。而且我们在加边的时候，联通块是从多变少，不会从少变多，在这样的条件下，对于每一个s我们只讨论当前层的转移。

下一层的概率乘以这一层的概率就好。
不说太透，自己再推一次吧。

代码如下

#include<cstring>#include<cstdio>#include<algorithm>#include<cmath>#include<map>#include<vector>using namespace std;#define pb(x) push_back(x)const int N = 25;const double eps = 1e-7;typedef vector<int> Vec;typedef pair<int, double> PI;map<Vec, int> Hash;vector<PI> next[670];Vec Son[N],Q[670];double P[N],F[670][N],A[N][N],total,val[N];int bz[N],n,cnt,c[N],vis[N];int Getnum(Vec p){    if (!Hash[p]) { Hash[p] = ++ cnt;  Q[cnt] = p; return cnt; }        else return Hash[p];}void GEASE(int cur){    memset(A, 0, sizeof A); // n + 1 is constant term    for (int i = 1; i <= n; i ++)    {        A[i][n + 1] ++;        int size = Son[i].size();        for (int j = 0 ; j < size; j ++)        {            int v = Son[i][j];            for (int k = 0; k < next[cur].size(); k ++)            {                int nxt = next[cur][k].first;double pr = next[cur][k].second;                if (nxt != cur) A[i][n + 1] += pr * F[nxt][v] / size * P[i]; else                    A[i][v] += pr / size * P[i];            }            A[i][v] += (1 - P[i]) / size;        }        A[i][i] --;    }    memset(bz, 0, sizeof bz);memset(val, 0, sizeof val);    for (int i = 1, j = 1; i <= n && j <= n; j ++)    {        for (int k = i; i <= n; k ++) if (fabs(A[k][j]) > eps) { swap(A[i], A[k]); break; }        if (fabs(A[i][j]) <= eps) continue;        for (int k = i + 1; k <= n; k ++)        {            double r = A[k][j] / A[i][j];            for(int p = j; p <= n + 1; p ++)                A[k][p] -= A[i][p] * r;        }        i ++;    }    for(int i = n; i; i --)    {        double r = A[i][n + 1];        for(int j = 1; j <= n; j ++)            if (fabs(A[i][j]) > eps && bz[j]) r += A[i][j] * val[j];        for(int j = 1; j <= n; j ++)            if (fabs(A[i][j]) > eps && !bz[j]) bz[j] = 1, val[j] = r / -A[i][j];    }}void Dfs(int cur){    Vec p = Q[cur],nxt;    if (p.size() == 1 || vis[cur]) return;    vis[cur] = 1, next[cur].clear();    int size = p.size();    for (int i = 0; i < size; i ++)        for (int j = i; j < size; j ++)        {            double pr = p[i] * p[j] / total;            if (i == j) pr = p[i] * (p[i] - 1) / 2 / total;            nxt.clear();            for (int k = 0; k < size; k ++) if (k != i && k != j) nxt.pb(p[k]);            nxt.pb((i == j) ? p[i] : (p[i] + p[j]));            sort(nxt.begin(), nxt.end());            int tmp = Getnum(nxt);            next[cur].pb(PI(tmp , pr));        }    for (int i = 0; i < next[cur].size(); i ++)        if (!vis[next[cur][i].first]) Dfs(next[cur][i].first);    GEASE(cur);    for (int i = 1; i <= n; i ++) F[cur][i] = val[i];}int main(){    freopen("random.in" , "r" , stdin);    freopen("random.out" , "w" , stdout);    scanf("%d" , &n);    total = 1.0 * n * (n - 1) / 2;    Vec Vit;    Vit.clear();    for (int i = 1; i <= n; i ++) scanf("%lf" , &P[i]) , Vit.pb(1);    for (int i = 1; i <= n; i ++)    {        scanf("%d" , &c[i]);        for (int j = 1; j <= c[i]; j ++)        {            int x;scanf("%d" , &x);            Son[i].pb(x);        }    }    Dfs(Getnum(Vit));    printf("%.7lf\n" , F[1][1]);    return 0;}