可公度线段与欧几里得（Euclid）算法

通过本文，我们将发现欧几里得算法（求两个数的最大公约数，也称作辗转相除），根本不需要死记硬背，仅仅通过数论中的一个小小的结论（有关可公度线段，commensurable），即可轻易推导出来。

既然算法来自欧几里得两千年前的几何原本一书，我们也回归代数与几何在书中含义上的统一，继续沿用书中的说法。假如我们要求线段 a 和线段 b 的最大公度单位（也即最大公约数），不妨设 a 比 b 更长。

• 如果 b 正好能度量 a（b 能度量 a 的含义是 a 是 b 的整数倍），b 自然也能度量它自身，因此 b 就是 a 和 b 的一个公度单位；

• 如果 b 不能被 a 整除，这说明 a 的长度等于 b 的某个整数倍，再加上一个零头（余数），不妨把该零头记为 c，也即此时 a=k⋅b+c。如果此时某条线段能同时度量 b 和 c，那么它显然也能度量 a。也即，此时为了找到 a 和 b 的共度单位，我们只需寻找 b 和 c 的公度单位即可。此时便构成了递归；

def euclid(a, b):    if a < b:        a, b = b, a    return b if a % b == 0 else euclid(b, a%b)

证明

我们不妨把 Euclid 算法对 a 和 b 进行这番折腾后得到的结果记做 x。x 是 a 和 b 的公度单位。不过，它一定是最大的公度单位吗？证明 x 为最大公度单位，也即证明 a 和 b 的任意一个公度单位，记为y，一定能够度量 x，从而不会超过 x。

y 能同时度量 a 和 b（a=k1⋅b+c），它能度量 b 就意味着它能同时度量 b 的任意正数倍（k1⋅b），要想让它也能同时度量 a 的话，只需而且必须让它能够度量 c。于是 y 也能同时度量 b 和 c，又 b=k2⋅c+d，根据同样的道理，又可推出 y 一定能度量 d，…., 最后发现，y 一定能度量 x。

效率

欧几里得算法（辗转相除法）的效率其实非常高。实际上，我们可大致估计出辗转相除的效率。第一次做除法时，我们 amodb=c，

• 如果 b 的值不超过 a 的一半，那么 c 更不会超过 a 的一半（因为余数小于除数）。

• 如果 b 的值超过了 a 的一半，那么 c 直接就等于 a−b（a=k⋅b+c，此时 k 只能为1），同样小于 a 的一半；

也即辗转相除法的运算次数是对数级别的；