背包九讲（详细+(自己理解的代码)）

首先要特别感谢：催添翼同志

（我也出从那里开始学背包）

1 01背包问题
1.1 题目
      有 N 件物品和一个容量为 V 的背包。放入第 i 件物品耗费的空间是 C i ，得到
的价值是 W i 。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。
1.2 基本思路
      这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。
用子问题定义状态：即 F[i,v] 表示前 i 件物品恰放入一个容量为 v 的背包可以
获得的最大价值。则其状态转移方程便是：
                  F[i,v] = max {F[i − 1,v],F[i − 1,v − C i ] + W i } //非常重要
      这个方程非常重要，基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生
出来的。所以有必要将它详细解释一下：“将前 i 件物品放入容量为 v 的背包
中”这个子问题，若只考虑第 i 件物品的策略（放或不放），那么就可以转化
为一个只和前 i − 1 件物品相关的问题。如果不放第 i 件物品，那么问题就转化
为“前 i − 1 件物品放入容量为 v 的背包中”，价值为 F[i − 1,v] ；如果放第 i 件物
品，那么问题就转化为“前 i − 1 件物品放入剩下的容量为 v − C i 的背包中”，
此时能获得的最大价值就是 F[i − 1,v − C i ] 再加上通过放入第 i 件物品获得的价
值 W i 。
伪代码如下：
         F[0,0..V ] = 0
         for i = 1 to N
             for v = C i to V
                 F[i,v] = max {F[i − 1,v],F[i − 1,v − C i ] + W i }
1.3 优化空间复杂度
       以上方法的时间和空间复杂度均为 O(V N) ，其中时间复杂度应该已经不能再优化了，但空间复杂度却可以优化到 O(V ) 。先考虑上面讲的基本思路如何实现，肯定是一个主循环 i = 1..N ，每次算出来二维数组 F[i,0..V ] 的所有值。那么，如果只用一个数组 F[0..V ] ，能不能保证第 i 次循环结束后 F[v] 中表示的就是我们定义的状态 F[i,v] 呢？ F[i,v] 是由 F[i−1,v] 和 F[i−1,v −C i ] 两个子问题递推而来，能否保证在推 F[i,v] 时（也
即在第 i 次主循环中推 F[v] 时）能够取用 F[i − 1,v] 和 F[i − 1,v − C i ] 的值呢？事
实上，这要求在每次主循环中我们以 v = V..0 的递减顺序计算 F[v] ，这样才能保
证推 F[v] 时 F[v − C i ] 保存的是状态 F[i − 1,v − C i] 的值。伪代码如下：
       F[0..V ] = 0
       for i = 1 to N
            for v = V to C i
                    F[v] = max {F[v],F[v − C i ] + W i }
       其中的 F[v] = max {F[v],F[v − C i ] + W i } 一句，恰就对应于我们原来的转移方
程，因为现在的 F[v − C i ] 就相当于原来的 F[i − 1,v − C i ] 。如果将 v 的循环顺序
从上面的逆序改成顺序的话，那么则成了 F[i,v] 由 F[i,v −C i ] 推导得到，与本题
意不符。
      事实上，使用一维数组解01背包的程序在后面会被多次用到，所以这里抽象
出一个处理一件01背包中的物品过程，以后的代码中直接调用不加说明。
       def ZeroOnePack( F,C,W )
             for v = V to C
                  F[v] = max (F[v],f[v − C] + W)
       有了这个过程以后，01背包问题的伪代码就可以这样写：
             for i = 1 to N
                  ZeroOnePack( F,C i ,W i )
1.4 初始化的细节问题
       我们看到的求最优解的背包问题题目中，事实上有两种不太相同的问法。
有的题目要求“恰好装满背包”时的最优解，有的题目则并没有要求必须把背
包装满。一种区别这两种问法的实现方法是在初始化的时候有所不同。
如果是第一种问法，要求恰好装满背包，那么在初始化时除了 F[0] 为 0 ，其
它 F[1..V ] 均设为 −∞ ，这样就可以保证最终得到的 F[V ] 是一种恰好装满背包的最优解。如果并没有要求必须把背包装满，而是只希望价格尽量大，初始化时应该
将 F[0..V ] 全部设为 0 。这是为什么呢？可以这样理解：初始化的 F 数组事实上就是在没有任何物品可以放入背包时的合法状态。如果要求背包恰好装满，那么此时只有容量
为 0 的背包可以在什么也不装且价值为 0 的情况下被“恰好装满”，其它容量的
背包均没有合法的解，属于未定义的状态，应该被赋值为-∞了。如果背包并非
必须被装满，那么任何容量的背包都有一个合法解“什么都不装”，这个解的
价值为 0 ，所以初始时状态的值也就全部为 0 了。
这个小技巧完全可以推广到其它类型的背包问题，后面也就不再对进行状
态转移之前的初始化进行讲解。
   1.5 一个常数优化
         上面伪代码中的
            for i = 1 to N
                   for v = V to C i
                          中第二重循环的下限可以改进。它可以被优化为
                   for i = 1 to N
                   for v = V to max (V − Σ NiW i ,C i )
          这个优化之所以成立的原因请读者自己思考。（提示：使用二维的转移方程思
          考较易。）
1.6 小结
         01背包问题是最基本的背包问题，它包含了背包问题中设计状态、方程的最
基本思想。另外，别的类型的背包问题往往也可以转换成01背包问题求解。故
一定要仔细体会上面基本思路的得出方法，状态转移方程的意义，以及空间复
杂度怎样被优化。

以下是本人写的代码，虽然写的很挫，但可能有助于理解。

<span style="font-size:24px;">#include"stdio.h"#include"stdlib.h"#include"string.h"#include"algorithm"#include"ctype.h"const int maxn=100;//物品数量 const int maxv=10000+2; //背包容量 int c[maxn],w[maxn];int f[maxv][maxv];int n,V;int F[maxv]; int max(int a,int b){     return a>b?a:b;}void Print_0() //希望利用输出好好分析，最好能够手写整过过程 {              //帮助理解 for(int i=1;i<=n;i++){     for(int j=1;j<=V;j++)       printf("%d ",f[i][j]);     printf("\n");    }}void text_0()  //没有优化，容易理解 {    scanf("%d%d",&n,&V);   for(int i=1;i<=n;i++)      scanf("%d%d",&c[i],&w[i]);   memset(f,0,sizeof(f));  //只是对0/1背包初始化    for(int i=1;i<=n;i++)     for(int v=1;v<=V;v++)     {       if(v-c[i]>=0)  //可以考虑是否加入第i件物品           f[i][v]=max(f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]);  //加跟不加        else          f[i][v]=f[i-1][v];  }printf("%d\n",f[n][V]);}void print_1(){for(int i=1;i<=V;i++)  printf("%d ",F[i]);printf("\n");}void text_1()  //优化空间复杂度 {scanf("%d%d",&n,&V);   for(int i=1;i<=n;i++)      scanf("%d%d",&c[i],&w[i]);   memset(F,0,sizeof(F));  //只是对0/1背包初始化    for(int i=1;i<=n;i++)     for(int v=V;v>=c[i];v--)         F[v]=max(F[v],F[v-c[i]]+w[i]);  //加跟不加//print_1();printf("%d\n",F[V]);   }void text_2()  //恰好装好背包 {scanf("%d%d",&n,&V);   for(int i=1;i<=n;i++)      scanf("%d%d",&c[i],&w[i]);   memset(F,-1,sizeof(F));  //注意啦，-1表示还不能装    F[0]=0;   for(int i=1;i<=n;i++){     for(int v=V;v>=c[i];v--)       {         if(F[v-c[i]]!=-1)  //加上这一句  判断能否放 {    F[v]=max(F[v],F[v-c[i]]+w[i]);  //加跟不加 } }//print_1(); }printf("%d\n",F[V]);   }int main(){   //text_0();//没有优化    //text_1(); //优化    //text_2(); //装满背包     return 0;  }</span>

2 完全背包问题
2.1 题目
     有 N 种物品和一个容量为 V 的背包，每种物品都有无限件可用。放入第 i 种
物品的耗费的空间是 C i ，得到的价值是 W i 。求解：将哪些物品装入背包，可使
这些物品的耗费的空间总和不超过背包容量，且价值总和最大。
2.2 基本思路
    这个问题非常类似于01背包问题，所不同的是每种物品有无限件。也就是从
每种物品的角度考虑，与它相关的策略已并非取或不取两种，而是有取 0 件、
取 1 件、取 2 件……直至取 ⌊V /C i ⌋ 件等很多种。
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如果仍然按照解01背包时的思路，令 F[i,v] 表示前 i 种物品恰放入一个容量
为 v 的背包的最大权值。仍然可以按照每种物品不同的策略写出状态转移方
程，像这样：
F[i,v] = max {F[i − 1,v − kC i ] + kW i | 0 ≤ kC i ≤ v}
这跟01背包问题一样有 O(V N) 个状态需要求解，但求解每个状态的时
间已经不是常数了，求解状态 F[i,v] 的时间是 O(
v
C i ) ，总的复杂度可以认为
是 O(NV Σ
V
C i ) ，是比较大的。
将01背包问题的基本思路加以改进，得到了这样一个清晰的方法。这说明01
背包问题的方程的确是很重要，可以推及其它类型的背包问题。但我们还是要
试图改进这个复杂度。
2.3 一个简单有效的优化
完全背包问题有一个很简单有效的优化，是这样的：若两件物品 i 、 j 满
足 C i ≤ C j 且 W i ≥ W j ，则将可以将物品 j 直接去掉，不用考虑。
这个优化的正确性是显然的：任何情况下都可将价值小耗费高的 j 换成物美
价廉的 i ，得到的方案至少不会更差。对于随机生成的数据，这个方法往往会大
大减少物品的件数，从而加快速度。然而这个并不能改善最坏情况的复杂度，
因为有可能特别设计的数据可以一件物品也去不掉。
这个优化可以简单的 O(N 2 ) 地实现，一般都可以承受。另外，针对背包
问题而言，比较不错的一种方法是：首先将费用大于 V 的物品去掉，然后使
用类似计数排序的做法，计算出费用相同的物品中价值最高的是哪个，可
以 O(V + N) 地完成这个优化。这个不太重要的过程就不给出伪代码了，希望你
能独立思考写出伪代码或程序。
2.4 转化为01背包问题求解
01背包问题是最基本的背包问题，我们可以考虑把完全背包问题转化为01背
包问题来解。
最简单的想法是，考虑到第 i 种物品最多选
⌊
V
C i
⌋
件，于是可以把第i种物品转
化为
⌊
V
C i
⌋
件费用及价值均不变的物品，然后求解这个01背包问题。这样的做法
完全没有改进时间复杂度，但这种方法也指明了将完全背包问题转化为01背包
问题的思路：将一种物品拆成多件只能选 0 件或 1 件的01背包中的物品。
更高效的转化方法是：把第 i 种物品拆成费用为 C i 2 k 、价值为 W i 2 k 的若干件
物品，其中 k 取遍满足 C i 2 k ≤ V 的非负整数。
这是二进制的思想。因为，不管最优策略选几件第 i 种物品，其件数写成
二进制后，总可以表示成若干个 2 k 件物品的和。这样一来就把每种物品拆
成 O( log
V
C i ) 件物品，是一个很大的改进。
2.5 O(V N) 的算法
这个算法使用一维数组，先看伪代码：
F[0..V ] = 0
for i = 1 to N
for v = C i to V
F[v] = max (F[v],F[v − C i ] + W i )
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你会发现，这个伪代码与01背包问题的伪代码只有 v 的循环次序不同而已。
为什么这个算法就可行呢？首先想想为什么01背包中要按照 v 递减的次序来
循环。让 v 递减是为了保证第 i 次循环中的状态 F[i,v] 是由状态 F[i − 1,v − C i ] 递
推而来。换句话说，这正是为了保证每件物品只选一次，保证在考虑“选入
第 i 件物品”这件策略时，依据的是一个绝无已经选入第 i 件物品的子结果 F[i −
1,v − C i ] 。而现在完全背包的特点恰是每种物品可选无限件，所以在考虑“加
选一件第 i 种物品”这种策略时，却正需要一个可能已选入第 i 种物品的子结
果 F[i,v − C i ] ，所以就可以并且必须采用 v 递增的顺序循环。这就是这个简单的
程序为何成立的道理。
值得一提的是，上面的伪代码中两层for循环的次序可以颠倒。这个结论有
可能会带来算法时间常数上的优化。
这个算法也可以由另外的思路得出。例如，将基本思路中求解 F[i,v − C i ] 的
状态转移方程显式地写出来，代入原方程中，会发现该方程可以等价地变形成
这种形式：
F[i,v] = max (F[i − 1,v],F[i,v − C i ] + W i )
将这个方程用一维数组实现，便得到了上面的伪代码。
最后抽象出处理一件完全背包类物品的过程伪代码：
def CompletePack( F,C,W )
for v = C to V
F[v] = max {F[v],f[v − C] + W}
2.6 小结
完全背包问题也是一个相当基础的背包问题，它有两个状态转移方程。希
望你能够对这两个状态转移方程都仔细地体会，不仅记住，也要弄明白它们是
怎么得出来的，最好能够自己想一种得到这些方程的方法。
事实上，对每一道动态规划题目都思考其方程的意义以及如何得来，是加
深对动态规划的理解、提高动态规划功力的好方法。
3 多重背包问题
3.1 题目
有 N 种物品和一个容量为 V 的背包。第 i 种物品最多有 M i 件可用，每件耗费
的空间是 C i ，价值是 W i 。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的耗费的空间
总和不超过背包容量，且价值总和最大。
3.2 基本算法
这题目和完全背包问题很类似。基本的方程只需将完全背包问题的方程略
微一改即可。
因为对于第 i 种物品有 M i +1 种策略：取 0 件，取 1 件……取 M i 件。令 F[i,v] 表
示前 i 种物品恰放入一个容量为 v 的背包的最大价值，则有状态转移方程：
F[i ， v] = max {F[i − 1,v − k ∗ C i ] + k ∗ W i | 0 ≤ k ≤ M i }
复杂度是 O(V ΣM i ) 。
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3.3 转化为01背包问题
另一种好想好写的基本方法是转化为01背包求解：把第 i 种物品换成 M i 件01
背包中的物品，则得到了物品数为 ΣM i 的01背包问题。直接求解之，复杂度仍
然是 O(V ΣM i ) 。
但是我们期望将它转化为01背包问题之后，能够像完全背包一样降低复杂
度。
仍然考虑二进制的思想，我们考虑把第 i 种物品换成若干件物品，使得原问
题中第 i 种物品可取的每种策略——取 0...M i 件——均能等价于取若干件代换
以后的物品。另外，取超过 M i 件的策略必不能出现。
方法是：将第 i 种物品分成若干件01背包中的物品，其中每件物品有一个系
数。这件物品的费用和价值均是原来的费用和价值乘以这个系数。令这些系数
分别为 1,2,2 2 ...2 k−1 ,M i − 2 k + 1 ，且 k 是满足 M i − 2 k + 1 > 0 的最大整数。例
如，如果 M i 为 13 ，则相应的 k = 3 ，这种最多取 13 件的物品应被分成系数分别
为 1,2,4,6 的四件物品。
分成的这几件物品的系数和为 M i ，表明不可能取多于 M i 件的第 i 种物品。另
外这种方法也能保证对于 0...M i 间的每一个整数，均可以用若干个系数的和表
示。这里算法正确性的证明可以分 0...2 k−1 和 2 k ...M i 两段来分别讨论得出，
希望读者自己思考尝试一下。
这样就将第i种物品分成了 O( log M i ) 种物品，将原问题转化为了复杂度
为 O(V Σ logM i ) 的01背包问题，是很大的改进。
下面给出 O( log M) 时间处理一件多重背包中物品的过程：
def MultiplePack( F , C , W , M )
if C · M ≥ V
CompletePack( F , C , W )
return
k := 1
while k < M
ZeroOnePack( kC , kW )
M := M − k
k := 2k
ZeroOnePack( C · M , W · M )
希望你仔细体会这个伪代码，如果不太理解的话，不妨翻译成程序代码以后，
单步执行几次，或者头脑加纸笔模拟一下，以加深理解。
3.4 O(VN)的算法
多重背包问题同样有 O(V N) 复杂度的算法。这个算法基于基本算法的状态
转移方程，但应用单调队列的方法使每个状态的值可以以均摊 O(1) 的时间求
解。我最初了解到这个方法是在楼天成的“男人八题”幻灯片上。（TODO：
是否在此插入单调队列的讲解呢？）
3.5 小结
在这一讲中，我们看到了将一个算法的复杂度由 O(V ΣM i ) 改进到 O(V Σ logM i ) 的
过程，还知道了存在复杂度为 O(V N) 的算法。
希望你特别注意“拆分物品”的思想和方法，自己证明一下它的正确性，
并将完整的程序代码写出来。

未完待续。。。。。