连通图小结

连通图小结 A Summary for Connected Graph

Ⅰ.概念

• 强连通
  
  • 强连通：有向图中(u,v)存在u→v, v→u的两条路径，称(u,v)为强连通
  • 强连通图：有向图中任意两个顶点强连通
  • 强连通分量：有向图的极大强连通子图
• 弱连通
  
  • 弱连通：无向图中(u,v)存在u−v的路径，称(u,v)为弱连通
  • 弱连通图：无向图中任意两个顶点弱连通，（可以将忽略方向的有向图看作无向图）
  • [弱]连通分量：无向图的极大[弱]连通子图
• 割点与桥
  
  • 割点：无向图中点u，删去后连通分量数目增加（连通图则使得图不再连通），称u为割点
  • 桥：无向图中边(u,v)，删去后连通分量数目增加（连通图则使得图不再连通），称(u,v)为桥（割边）
• 点双连通
  
  • 点双连通：无向图中(u,v)存在至少两条“点不重复”的路径，称(u,v)为点双连通
    这个要求等价于任意两条边都在同一个简单环中，即内部无割点
  • 点双连通分量：无向图的极大点双连通子图。
  • 性质：
    
    • 无向图每条边恰好属于一个点双连通分量
    • 不同的点双连通分量之间可能会有公共点，最多只有一个且一定是割点
    • 任意割点都是至少两个不同点双连通分量的公共点
• 边双连通
  
  • 边双连通：无向图中(u,v)存在至少两条“边不重复”的路径，称(u,v)为边双连通
    这个要求低一点，只需要每条边都至少在一个简单环中，即所有的边都不是桥
  • 边双连通分量：无向图的极大边双连通子图。
  • 性质：
    
    • 除桥不属于任何边双连通分量外，其他每条边恰好属于一个边双连通分量
    • 把所有桥删除后，每个连通分量对应原图的一个边双连通分量

Ⅱ.连通图算法

• 连通分量 Connected Component
  求解连通分量只需要dfs或者bfs把图搜一遍就好了，当然并查集也是可以的。
  一般不爆栈的情况，dfs好写适用性强

//Connected Componentsvector<int> G[N];int id[N], cc;void dfs(int u) {    id[u] = cc;    for(int v : G[u]) {        if(id[v]) continue;        dfs(v);    }}void findCC() {    cc = 0;    for(int i = 1; i <= n; ++i) {        if(id[i]) continue;        ++cc;        dfs(i);    }}

• 割点 Cut
  基于dfs时间戳的Tarjan算法
  dfn[u]:= u的时间戳，low[u]:= u及其后代能连回的最早的祖先的时间戳
  如果low[v]≥dfn[u]，即v及其所在的子树都没有后向边(back edge)连回u的祖先
  如果删去u，那么u的祖先与v及其所在的子树不连通，根据“连通”关系的传递性，整个图就不连通了

//Tarjan-cutvector<int> G[N];int dfn[N], low[N], cut[N], dfsNum;void tarjan(int u, int f) {    dfn[u] = low[u] = ++dfsNum;    int son = 0;    for(int v : G[u]) {        if(v == f) continue;        if(!dfn[v]) {            ++son;            tarjan(v, u);            low[u] = min(low[u], low[v]);            if(low[v] >= dfn[u]) cut[u] = true;        } else low[u] = min(low[u], dfn[v]);    }    if(f < 0 && son == 1) cut[u] = false;}void init() {    dfsNum = 0;    memset(dfn, 0, sizeof dfn);    memset(cut, false, sizeof cut);    tarjan(root, -1);}

• 桥 Bridge
  基于dfs时间戳的Tarjan算法
  dfn[u]:= u的时间戳，low[u]:= u及其后代能连回的最早的祖先的时间戳
  如果low[v]>dfn[u]，即v及其所在的子树只能连回v自己
  如果删去(u,v)，那么u与v及其所在的子树不连通，根据“连通”关系的传递性，整个图就不连通了

//Tarjan-bridgevector<int> G[N];vector<pair<int, int> > bridge;int dfn[N], low[N], dfsNum;void tarjan(int u, int f) {    dfn[u] = low[u] = ++dfsNum;    for(int v : G[u]) {        if(v == f) continue;        if(!dfn[v]) {            tarjan(v, u);            low[u] = min(low[u], low[v]);            if(low[v] > dfn[u]) bridge.push_back({u, v});        } else low[u] = min(low[u], dfn[v]);    }}void init() {    dfsNum = 0;    bridge.clear();    memset(dfn, 0, sizeof dfn);    tarjan(root, -1);}

• 点双连通分量 Biconnected Component or Block
  基于dfs时间戳的Tarjan算法
  dfn[u]:= u的时间戳，low[u]:= u及其后代能连回的最早的祖先的时间戳

vector<int> G[N];int dfn[N], low[N], cut[N], bcc, dfsNum;vector<int> block[N];int stk[N], top;void tarjan(int u, int f) {    dfn[u] = low[u] = ++dfsNum;    stk[++top] = u;    int son = 0;    for(int v : G[u]) {        if(v == f) continue;        if(!dfn[v]) {            ++son;            tarjan(v, u);            low[u] = min(low[u], low[v]);            if(low[v] >= dfn[u]) {                cut[u] = true;                block[++bcc].push_back(u);                while(true) {                    int x = stk[top--];                    block[bcc].push_back(x);                    if(x == v) break;                }            }        } else low[u] = min(low[u], dfn[v]);    }    if(f < 0 && son == 1) cut[u] = false;}void init() {    bcc = dfsNum = 0;    memset(dfn, 0, sizeof dfn);    memset(cut, 0, sizeof cut);    tarjan(root, -1);}

• 边双连通分量 Edge−biconnected Component
  基于dfs时间戳的Tarjan算法
  dfn[u]:= u的时间戳，low[u]:= u及其后代能连回的最早的祖先的时间戳
  边双连通缩点其实就是留下桥，把所有桥边构成了新图，新图是一棵树

//Tarjan-bccvector<int> G[N];int dfn[N], low[N], in[N], id[N], bcc, dfsNum;int stk[N], top;void tarjan(int u, int f) {    dfn[u] = low[u] = ++dfsNum;    stk[++top] = u;    in[u] = true;    for(int v : G[u]) {        if(v == f) continue;        if(!dfn[v]) {            tarjan(v, u);            low[u] = min(low[u], low[v]);        } else low[u] = min(low[u], dfn[v]);    }    if(low[u] == dfn[u]) {        ++bcc;        while(true) {            int v = stk[top--];            in[v] = false;            id[v] = bcc;            if(v == u) break;        }    }}void init() {    bcc = dfsNum = 0;    memset(dfn, 0, sizeof dfn);    tarjan(root, -1);}