bfprt算法求最小的k个数

bfprt算法是一种经典的线性时间内求最小的第k个数或者最小的k个数的算法。

比如我们要知道销量是前几名商品或者是浏览量最多的前几个网站，我们不需要排序，利用bfprt算法就可以完成。

bfprt算法又称快速选择算法，其思想是利用快速排序的划分来确定位置。此算法经典而优雅，值得我们学习。

步骤

        1.将输入的元素划分为5个元素一组，至多有一组不足5个元素。

        2.利用插入排序寻找每组5个元素的中位数，然后再递归找所有中位数的中位数。

        3.利用快排的划分方法，以第二步所找的中位数为哨兵划分。返回最后划分的位置i，

          如果i+1 = k,则返回i,

          如果i+1<k,说明找到的数小了，在i+1到数组末递归查找k-i-1小的数，

          同理，i+1>k,在数组开始到i-1的部分递归查找第i小的元素。

c语言代码

#include <stdio.h>#define N 8 void swap(int* a, int* b) {    int t = *a;    *a = *b;    *b = t;}//插入排序void InsertSort(int a[], int l, int r){    for(int i = l + 1; i <= r; i++)    {        if(a[i - 1] > a[i])        {            int t = a[i];            int j = i;            while(j > l && a[j - 1] > t)            {                a[j] = a[j - 1];                j--;            }            a[j] = t;        }    }} //寻找中位数的中位数,利用插入排序对每5个元素排序，再把每组的中位数依次交换到数组的前面，//最后再递归对数组前面的中位数排序，找中位数int FindMid(int a[], int l, int r){    if(l == r) return a[l];    int i = 0;    int n = 0;    for(i = l; i < r - 5; i += 5)    {        InsertSort(a, i, i + 4);        n = i - l;        swap(a+l + n / 5, a+i + 2);    }      //处理剩余元素    int num = r - i + 1;//剩余元素的个数    if(num > 0)    {        InsertSort(a, i, i + num - 1);        n = i - l;        swap(a+l + n / 5, a+i + num / 2);    }    n /= 5;//有几组5个的数       if(n == l) return a[l];    return FindMid(a, l, l + n);} //寻找中位数的所在位置int FindId(int a[], int l, int r, int num){    for(int i = l; i <= r; i++)        if(a[i] == num)            return i;    return -1;} //进行划分过程int Partion(int a[], int l, int r, int p){    swap(a+p, a+l);    int i = l;    int j = r;    int pivot = a[l];    while(i < j)    {        while(a[j] >= pivot && i < j)            j--;        a[i] = a[j];        while(a[i] <= pivot && i < j)            i++;        a[j] = a[i];    }      a[i] = pivot;    return i;} int BFPTR(int a[], int l, int r, int k){if (k<1 || k>r-l+1)return -1;    int num = FindMid(a, l, r);    //寻找中位数的中位数        int p =  FindId(a, l, r, num); //找到中位数的中位数对应的id       int i = Partion(a, l, r, p);     int m = i - l + 1;    if(m == k) return a[i];    if(m > k)  return BFPTR(a, l, i - 1, k);    return BFPTR(a, i + 1, r, k - m);} int main(){    int i, k;    int a[N] = {72, 6, 57, 88, 60, 42, 83, 73};     scanf("%d", &k);    printf("The %d th number is : %d\n", k, BFPTR(a, 0, N - 1, k));    for(i = 0; i < N; i++)        printf("%d ", a[i]);    getchar();    getchar();    return 0;}

时间复杂度证明

       第一步划分，复杂度为O(n),

       第二步求中位数，对大小为O(1)的数组进行O(n)次插入排序的复杂度为O(n),递归求取中位数的复杂度T(n/5).

       第三步，得到的中位数x作为哨兵进行划分，在n/5个中位数中，哨兵x大于其中1/2*n/5=n/10的中位数，而每个中位数在其本来的5个数的小组中又大于或等于其中的3个数，所以哨兵x至少大于所有数中的n/10*3=3/10*n个。同理，哨兵x至少小于所有数中的3/10*n个。即划分之后，任意一边的长度至少为3/10*n，在最坏情况下，每次选择都选到了7/10*n的那一部分，则递归的复杂度为T(7/10*n)。划分的时间复杂度为O(n).
　　我们假设在每5个数求中位数和划分的函数中，进行若干个次线性的扫描,其时间复杂度为c*n，其中c为常数。
　　其总的时间复杂度满足 T(n)<=T(n/5)+T(7/10*n)+c*n。

　　我们假设T(n)=x*n，其中x不一定是常数（比如x可以为n的倍数，则对应的T(n)=O(n^2)）。则有 x*n <= x*n/5 + x*7/10*n + c*n
　　得到 x<=10*c
　　于是可以知道x与n无关，T(n)<=10*c*n，为线性时间复杂度算法。

”为什么要分成5个元素一组？“的证明和时间复杂度的证明一样，假设分成k组就行了。下面看算法导论的证明

k必须要大于4才能保证时间是线性的。

由于划分的性质，当我们找到了第k小的数时，它前面的数小于等于它，后面的数都大于等于它。

这样我们就找到了最小的k个数。