后缀数组（Suffix Array）学（复）习小记

前言

后缀数组是个十分有用的东西，上一年就学过，结果又还给pdf了，如今再看一遍，好懂很多。
怎么说呢，get了height后，SA能解决很大一部分字符串问题。
后缀是什么大家都知道···
sa[i]表示第i小（大）后缀是哪里开头的后缀
rank[j]是是第j个后缀的排名

弄出SA数组

（DC3好恶心，学倍增实现！）
后缀数组关键就是要弄出后缀数组嘛。
我们现在有一个字符串r，好我们把它弄成int的x数组。
设j表示当前我们针对每个位置为开头，j个位置后结束的后缀进行处理，最后那些后面没有j个字符的后缀我们统统设没有的是最小的字符。
倍增的主要想法是用目前的针对长度为j的后缀得到的排序，更新长度为2*j的后缀。如图。

看了一下图，有没有联想起一些用来打牛奶的东西~~~那就是桶了。
对，基数排序，两个关键字！

好难讲啊···贴个get sa的代码

·C++并没有····Pascalprocedure getsa(n:longint);var        i,j:longint;begin        for i:=1 to 256 do ws[i]:=0;        for i:=1 to n do inc(ws[x[i]]);        for i:=1 to 256 do ws[i]:=ws[i-1]+ws[i];//刚开始每一个字母ASCII码的范围小于等于255        for i:=n downto 1 do        begin                sa[ws[x[i]]]:=i;                dec(ws[x[i]]);        end;        j:=1;        while j<=n do        begin                p:=0;//j为前一次排序后缀的关键字长度                for i:=n-j+1 to n do                begin                        inc(p);                        y[p]:=i;                end;//这些后缀的后j长度组成的串都爆掉了n                for i:=1 to n do                if sa[i]>j then                begin                        inc(p);                        y[p]:=sa[i]-j;                end;//y数组：储存每个后缀以后j长度为关键字的从小到大位置,位置是整个字符串的开始位置                for i:=1 to n do wv[i]:=x[y[i]];//x数组：储存每个后缀以前j个长度为关键字的排名（可能会有重复）                for i:=0 to n do ws[i]:=0;                for i:=1 to n do inc(ws[wv[i]]);                for i:=1 to n do ws[i]:=ws[i-1]+ws[i];                for i:=n downto 1 do//y数组是已经按照之前的次序排过序了，也是按顺序放入wv中，n downto 1使得之前的某些顺序性质在后来能继续维护                begin                        sa[ws[wv[i]]]:=y[i];                        dec(ws[wv[i]]);                end;//以每一个后缀的后j长度为关键字排序，SA以按第二关键字排序                y:=x;//重新计算x数组                p:=1;                x[sa[1]]:=1;                for i:=2 to n do                begin                        if (y[sa[i-1]]<>y[sa[i]])or(y[sa[i-1]+j]<>y[sa[i]+j]) then//SA使满足s[i]<=s[i+1]，先比较前j关键字是否相等，否则比较后j关键字                        inc(p);                        x[sa[i]]:=p;                end;                j:=j*2;        end;end;

一开始的桶排都没有问题吧···
为什么要n downto 1？其实这里并不需要，因为只有一个关键字，第二个还没出来···
好了get出j=1时的sa了，当然，对于j=n来说，他是不大准确的。
好了进循环，我们准备开始弄j=2的sa数组了。
y数组是为了成为j=2时的排序第二关键字而，根据j=1时的sa数组改动的。
我们看改动了些什么，把当前、后面没有东西的后缀赋为最小，以及把原来sa数组记录的位置提前了j。
没忘掉原来的x吧，这里他做临时rank用了。注意，他不会像临时sa一样使本来较大的排在较小的前面，他只会把他们弄成同样的排名。
看着一句for i:=1 to n do wv[i]:=x[y[i]]; 成功以y为关键字的x数组排了个序，存进wv里面。
然后又是基数排序。注意，这里的n downto 1就有用了，因为考虑了第二关键字。
现在，我们弄出j=2的sa了，更新x数组。
值得注意的是这句话x[sa[1]]:=1; 因为sa[1]是不可能有比他大的，至少对于目前j=2的情况是这样。然后后面的更新谁都懂了。
弄完一次，j*2，继续弄到n为止。

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弄出height数组

height[i]就是sa[i]与sa[i-1]的公共前缀的大小。先发散思考一下height的一些周边性质~~~

一般来说，弄出sa数组很麻烦，而一般只弄他并没有卵用，他只是为了我们getheight做准备；height不难弄，用处却很大。
考虑方法····
暴力？O(n2)那还用什么倍增求sa啊···这里复杂度这么大

所以我们考虑一些别的东西。
设f[i]=height[rank[i]],则f[i]>=f[i-1]-1;

证：设suffix(k)是排在suffix(i-1)的前一名后缀，那么他们最长公共前缀是f[i-1]。那么显然suffix(k+1)排在suffix(i)的前面（不一定是前一名，有可能有别的后缀参和进来）。所以，f[i]起码有f[i-1]-1的大小（因为向后推进了一位所以减一）。

按照f数组的顺序来求height，我们可以O(n)得height。求的时候不需要求f，只需要按位置顺序求height就好了。

procedure getheight;var        i,j:longint;begin        k:=0;        for i:=1 to n+1 do rank[sa[i]]:=i;        for i:=1 to n do        begin                if k>0 then k:=k-1;                j:=sa[rank[i]-1];                while (r[i+k]=r[j+k])and(j+k<=n)and(i+k<=n) do inc(k);                height[rank[i]]:=k;        end;end;

一些题目

还没做呢，做过一些也忘了，后面再补。

后记

刚学会的算法要多练，不在计算机旁要用脑子想，想关于算法的什么都好。感性理解不要太多，否则记不住。
学算法嘛，最好赶紧学完，不要学学停停，很容易忘掉前面内容的，到时候学完了再巩固也不迟。趁寒暑假要多干点事。其实一个小组进行学习讨论会更高效。

参考与学习的文献、代码

Crazy注解的Samjia源代码

罗穗骞，2009国家集训队论文《后缀数组——处理字符串的有力工具》