矩阵相关概念笔记

一、共轭转置

（1）共轭转置:矩阵有实数矩阵和复数矩阵。

转置矩阵仅仅是将矩阵的行与列对换,而共轭转置矩阵在将行与列对换后还要讲每个元素共轭一下。其中，共轭就是将形如a+bi的数变成a-bi,实数的共轭是它本身，所以，实数矩阵的共轭转置矩阵就是转置矩阵,复数矩阵的共轭转置矩阵就是上面所说的行列互换后每个元素取共轭。

（2）非共轭转置：针对数组运算，转置后不取数组元素的共轭复数
（3）共轭转置：针对矩阵运算，转置后取数组元素的共轭复数

（4）如果元素都为实数，那么共轭转置与非共轭转置得出的结果是一样的。

二、正定矩阵

（1）基本定义
广义定义
    设M是n阶方阵，如果对任何非零向量z，都有zTMz> 0，其中zT 表示z的转置，就称M正定矩阵。[1]
例如：B为n阶矩阵，E为单位矩阵，a为正实数。aE+B在a充分大时，aE+B为正定矩阵。（B必须为对称阵）

狭义定义
    一个n阶的实对称矩阵M是正定的当且仅当对于所有的非零实系数向量z，都有zTMz> 0。其中zT表示z的转置。

（2）特征及性质
正定矩阵在合同变换下可化为标准型， 即对角矩阵。
所有特征值大于零的对称矩阵（或厄米矩阵）也是正定矩阵。
判定定理1：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的特征值全为正。
判定定理2：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的各阶顺序主子式都为正。
判定定理3：任意阵A为正定的充分必要条件是：A合同于单位阵。

正定矩阵的性质：
1.正定矩阵一定是非奇异的。奇异矩阵的定义：若n阶矩阵A为奇异阵，则其的行列式为零，即 |A|=0。
2.正定矩阵的任一主子矩阵也是正定矩阵。
3.若A为n阶对称正定矩阵，则存在唯一的主对角线元素都是正数的下三角阵L，使得A=L*L′，此分解式称为 正定矩阵的乔列斯基（Cholesky）分解。
4.若A为n阶正定矩阵，则A为n阶可逆矩阵。

三、半正定矩阵

四、正交矩阵

 如果：AA'=E（E为单位矩阵，A'表示“矩阵A的转置矩阵”。）或A′A=E，则n阶实矩阵A称为正交矩阵， 若A为正交阵，则满足以下条件:
1) A'是正交矩阵
2) AA'=A'A=E（E为单位矩阵）
3) A的各行是单位向量且两两正交
4) A的各列是单位向量且两两正交
5) (Ax,Ay)=(x,y) x,y∈R
6) |A| = 1或-1

五、酉矩阵

n阶复方阵U的n个列向量是U空间的一个标准正交基，则U是酉矩阵(Unitary Matrix)。酉矩阵是正交矩阵往复数域上的推广。

如果QQ*=I，其中Q*表示Q的共轭转置，I是单位阵，那么称Q是酉阵。
实质上酉阵即正交阵。

六、Schmidt正交化

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