【JZOJ 4353】distance

题目描述

给出平面上n个点，每个点有一种颜色，问不同色的点之间最远距离是多少。

n≤2.5×105

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分析

首先有一个显然的结论是最远点必定在凸包上。
然后有一个显然的结论是三分是错的。

这道题的核心在于minkovski addition

minkovski addition是在点集上的二元运算，得到一个新的点集C。
C=A+B={(x,y)|x=xa+xb,y=ya+yb,(xa,ya)∈A,(xb,yb)∈B}
简单来说就是从A点集和B点集中任取一个点，将他们的坐标分别加起来得到新的点集合。

对应地我们可以定义minkovski difference，只需要将B点集中的点全部以原点为中心作对称点，然后求minkovski addition就可以了。

显然我们直接地求这个玩意是O(n2)的，并没有什么卵用。
但实际上我们求两个凸包的minkovski addition是可以做到线性的，只需要将两个凸包的边集按照极角序合并一下就可以了。
简单证明一下

• 两个凸包的minkovski addition必定是凸包
• 原来两个凸包上的边必定在新的凸包上出现
• 新的凸包上的边必定在原来两个凸包上出现

证毕

然后就可以做题了。考虑按照颜色分治一下，求一下凸包再求minkovski difference，问题就变成了求离原点的最远点，扫描一下就可以了。

时间复杂度O(nlogn)
空间复杂度O(n)