浅谈最小生成树的算法思路（一）Prim算法

Prim算法是求最小生成树的一种常见算法，简单谈一下笔者自己的理解。

算法思路

1. 设已经确定的点集为P，初始为空。设还未确定的点集为Q，初始为该图所有点的集合。设已经确定的边为X，初始为空。
2. 选取任意一点作为起始点，将该点添加到集合P中，并从Q中移除该点。
3. 从P中找到一个点A，从Q中找到一个点B，使得2点之间的路径AB的权值最小。
4. 将路径AB添加到X，将Q中的点B添加到集合P中，并从Q中移除该点。
5. 重复3~4，直至所有点确定路径。

代码思路

1. 采用邻接矩阵保存图。
2. 创建一个临时数组lowcost，长度为总点数，用于表示当前时刻集合P与各点的距离。
   例如lowcost[3]=m，3表示下标为3的点，当m为0表示该点已经在集合P中，即已经确定；当m为65535，表示该点与集合P暂时没有直接路径可到达；其他值表示该点与P可以直接通过一条连线到达，并且当前最短距离为m。
   需要说明的是，这个数组是会不断变化的，最初，当P中只有一个点A的时候，lowcost表示A到各点的距离，这个时候有些点与点A没有直达路径，此时这些点是为65535的；而程序结束时，该数组的元素的值将都为0，因为所有点已经都添加到P了，此时各点到P的距离都为0。
3. 创建临时数组mst，长度为总点数，用于保存步骤2的最短距离m对应的边关系。即每次添加一个点到P后，会更新P与剩余各点之间的最短距离m，此时会记录最短距离的边AB的起始点和结束点。
   例如lowcost[3]=m,mst[3]=2表示下标为3的点A到P的距离为m，该连线是A与P中下标为2的点B的连线。
4. 初始化：选取图的点集合的下标为0的点A，作为初始点。将图的边矩阵中，A与各点的距离（权重）写入lostcost数组作为初始值，并将mst各元素置零。创建临时变量n=1，表示已经确定的点数，用作循环结束的判断。
5. 遍历lowcost数组，找出最小的值（排除0和65535），即当前集合P中任意一点到Q中任意一点的最短距离（权重）。记录下标minid。
6. 将lowcost[minid]置为零，表示该点已经添加到P。
7. 更新新添加到P的点minid与Q中各点的距离。即遍历图的边矩阵中起始点为minid的各元素，如果有比lowcost中对应元素的距离小的元素，则更新lostcost，同时更新mst。
   例如，此时P中有3个点{A,B,C}，Q中有2个点{D,E}，C为刚刚添加的点。由于我们刚刚将C添加到P，所以执行步骤7之前的lostcost数组中保存着{A,B}到{C,D,E}的最短距离，比如lostcost为[0,0,0,Sd,Se]。当C添加进去之后，有可能之前AB到DE都距离比较远或者没有直接路径，而C到DE的距离很近，这个时候就需要比较C到DE的距离Scd和Sce有没有比Sd，Se更小，如果有则更新lostcost中的Sd，Se为一个新的值。
8. 循环执行5~7，直至所有点的路径确定，即当n>=总点数跳出循环。

代码实现（Java版）

public class Prim {    static int MAX = 65535;//表示两点之间没有直接路径    public static void prim(int[][] graph, int n) {        char[] c = new char[]{'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G', 'E', 'F'};        int[] lowcost = new int[n];        int[] mst = new int[n];        int i, j, min, minid, sum = 0;        //初始化数组，即将点A添加到P中，计算与各点的距离        for (i = 1; i < n; i++) {            lowcost[i] = graph[0][i];            mst[i] = 0;        }        //i为已经确定的点数，由于点A已经确定，故初始化为1        for (i = 1; i < n; i++) {            min = MAX;            minid = 0;            //找到P到Q的最短路径，将点添加到P            for (j = 1; j < n; j++) {                if (lowcost[j] < min && lowcost[j] != 0) {                    min = lowcost[j];                    minid = j;                }            }            System.out.println(c[mst[minid]] + "到" + c[minid] + " 权值：" + min);            sum += min;            lowcost[minid] = 0;            //如果新添加到P的点minid带来了与Q中剩余点的更短路径，更新lowcost、mst数组            for (j = 1; j < n; j++) {                if (graph[minid][j] < lowcost[j]) {                    lowcost[j] = graph[minid][j];                    mst[j] = minid;                }            }        }        System.out.println("sum:" + sum);    }    public static void main(String[] args) {        int[][] map = new int[][]{                {0, 10, MAX, MAX, MAX, 11, MAX, MAX, MAX},                {10, 0, 18, MAX, MAX, MAX, 16, MAX, 12},                {MAX, MAX, 0, 22, MAX, MAX, MAX, MAX, 8},                {MAX, MAX, 22, 0, 20, MAX, MAX, 16, 21},                {MAX, MAX, MAX, 20, 0, 26, MAX, 7, MAX},                {11, MAX, MAX, MAX, 26, 0, 17, MAX, MAX},                {MAX, 16, MAX, MAX, MAX, 17, 0, 19, MAX},                {MAX, MAX, MAX, 16, 7, MAX, 19, 0, MAX},                {MAX, 12, 8, 21, MAX, MAX, MAX, MAX, 0}        };        prim(map, map.length);    }}