史上最浅显易懂的KMP算法讲解：字符串匹配算法

KMP算法是一种改进后的字符串匹配算法，由D.E.Knuth与V.R.Pratt和J.H.Morris同时发现，因此人们称它为克努特－莫里斯－普拉特操作（简称KMP算法）。

KMP算法又称“看毛片”算法，是一个效率非常高的字符串匹配算法。相信很多人初识KMP算法的时候始终是丈二和尚摸不着头脑，要么完全不知所云，下面将结合本人的理解，用最浅显易懂的方法解释一下KMP算法。

首先为什么要使用KMP,比如abc这个串找它在abababbcabcac这个串中第一次出现的位置，那么如果直接暴力双重循环的话，abc的c不匹配母串中的第三个字母a后，abc将开始从母串中的头位置的下一个位置开始寻找，就是abc开始匹配母串中第二个字母bab...这样，而KMP的优势就在于可以让模式串向右滑动尽可能多的距离就是abc直接从模式串的第三个字母aba...开始匹配，为了实现这一目标，KMP需要预处理出模式串的移位跳转next数组。

1. KMP算法完成的任务是：给定两个字符串S和M，长度分别为n和m，判断M是否在S中出现，如果出现则返回出现的位置。常规方法是遍历S的每一个位置，然后从该位置开始和M进行匹配，但是这种方法的复杂度是O(nm)。KMP算法通过计算移位跳转表next[...]，使匹配的复杂度降为O(n+m)。

我们首先用一个图来描述kmp算法的思想。在字符串S中寻找M，假设匹配到位置i时两个字符才出现不相等(i位置前的字符都相等)，这时我们需要将字符串M向右移动。常规方法是每次向右移动一位，但是它没有考虑前i-1位已经比较过这个事实，所以效率不高。事实上，如果我们提前计算某些信息，就有可能一次右移多位。假设我们根据已经获得的信息知道可以右移x位，我们分析移位前后的M的特点，可以得到如下的结论：

• B段字符串是M的一个前缀
• A段字符串是M的一个后缀
• A段字符串和B段字符串相等

所以右移x位之后，使M[k] 与 S[i] 对齐，继续从i位置进行比较的前提是：M的前缀B和后缀A相同。

2. KMP算法的核心思想：

所以KMP算法的核心即是计算字符串M每一个位置之前的字符串的前缀和后缀公共部分的最大长度。获得M每一个位置的最大公共长度之后，就可以利用该最大公共长度快速和字符串S比较。当每次比较到两个字符串的字符不同时，我们就可以根据最大公共长度将字符串M向右移动，接着继续比较下一个位置。

3. KMP算法关键难点就是弄清楚如何计算next数组 ：为方便起见，next数组下标都从1开始，M数组下标依然从0开始

假设我们现在已经求得next[1]、next[2]、……next[i]，分别表示不同长度子串的前缀和后缀最大公共长度，下面介绍如何用归纳法计算next[i+1] ?

假设k＝next[i]，它表示M位置i之前的字符串的前缀和后缀最大公共长度，即M[0...k-1] = M[i-k...i-1]；

（1）若M[k] ＝ M[i]相等, 则必定有next[i+1] ＝ next[i] ＋1，即M位置i＋1之前的字符串的前缀和后缀最大公共长度为k+1

为什么呢？也许你会半信半疑，下面用假设排除法来验证。

如上有两幅图，第一幅表示当M[k] ＝ M[i]相等时，next[i+1] ＝ next[i] ＋1；

第二幅假设next'[i+1] > next[i] ＋1成立，则两条虚线之间的阴影重叠长度肯定比第一幅图中大，从图中可以看出next'(i) = A + A‘ 的长度，而实际上next(i) = A的长度,且是最大长度，next'(i) = A + A‘ 是不可能的。因此假设不成立，则next[i+1] 的最大长度只能是 next[i] ＋1；

（2）若M[k] !＝ M[i] 不相等，为求next[i+1] ，如下图我们需要将M继续往右移动(不能往左移，往左移上面已经用假设排除法验证不成立)，获得其最大公共长度next[k], 即为第一条虚线与第二条虚线之间的阴影重叠长度。不难发现，next[k] 其实就是阴影B这段字符串的前缀和后缀最大公共长度，即 next[k]  ＝ next[ next[i] ] 。

令 next[k] = j, 继续判断M[i] 与 M[j] 是否相等，如果相等则 next[i+1] ＝ next[k] ＋ 1 ＝ next[ next[i] ] ＋ 1；如果不相等重复步骤(2)，继续分割长度为next[ next[k] ]的字符串，直到字符串长度为0为止。

通过上述分析，我门可以总结出next[i]的递推公式：

若 M位置i之前的字符串的前缀和后缀最大公共长度为next[i] = k，即M[0...k-1] = M[i-k...i-1]；则对于M位置i+1之前的字符串，则有如下可能

• M[k] == M[i] 此时 next(i+1)=k+1=next(i)+1
• M[k] ≠ M[i] 此时只能在M位置k之前的字符串中匹配，假设j=next(k),如果此时M[j]==M[i],则next(i+1)=j+1，否则重复此步骤，直到字符串长度为0为止

4. 下面给出一段计算next[]的代码：

#include<iostream.h>#include<string.h>void compute_next(const string& pattern){    const int pattern_length = pattern.size();    int *next_function = new int[pattern_length];    int index;    next_function[0] = -1;    for(int i=1;i<pattern_length;++i)    {        index = next_function[i-1];        //store previous fail position k to index;                while(index>=0 && pattern[i]!=pattern[index+1])        {            index = next_function[index];        }        if(pattern[i]==pattern[index+1])        {            next_function[i] = index + 1;          }        else        {            next_function[i] = -1;        }    }    for(i=0;i<pattern_length;++i)    {        cout<<next_function[i]<<endl;    }    delete[] next_function;}int main(){    string pattern = "abaabcaba";    compute_next(pattern);    return 0;}

这样求出来的next数组其实是从下标1开始的，因为下标0之前是个空串，下标1则对应着M串的第0个字符。我们设next[0]=-1，仅仅是个标志而已，没有什么特殊的含义。

运行结果为：

-1-1001-1012Press any key to continue

有了next跳转表，那么实现kmp算法就是很简单的了，我们的原则还是从左向右匹配。当发生在i长度失配时，只要把pattern向右移动i-next(i)长度就可以了。如果失配时pattern_index==0，相当于pattern第一个字符就不匹配，这时就应该把target_index加1，向右移动1位就可以了。下图就是KMP算法的过程（红色即是采用KMP算法的执行过程）：

5. 改进型KMP算法: 

若引入f(j)作为媒介，对 f(j) 和 next(j) 重新定义如下：

• f(j)是满足pattern[1...k - 1] = pattern[(j - (k - 1))...j -1](k < j)的k中，k的最大值
• next[j]是所有满足pattern[1...k - 1] = pattern[(j - (k - 1))...j -1](k < j)，且pattern[k] != pattern[j]的k中，k的最大值

根据定义，f(j)与next[j]的有如下递推公式：

• 如果 pattern[j] != pattern[f(j)]，next[j] = f(j);
• 如果 pattern[j] = pattern[f(j)]，next[j] = next[f(j)];

可以看出，本篇介绍的next(i) 其实就是f(j), 并不是最优跳转表。通过f(j)可以进一步计算最优的跳转表，最优跳转表对有多个重复字符的pattern[]，会表现出非常高的性能！ 

有关最优跳转表的具体介绍，可以参见文章：http://blog.csdn.net/joylnwang/article/details/6778316