BestCoder Round #73(div.2)

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Rikka with Chess

 

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问题描述

一个$n\times m$的黑白相间的棋盘，每次可以选择一个矩形把其中的所有格子反色。问把所有格子变成一种颜色时的最少操作次数。

输入描述

第一行一个整数 $T(T\le 10)$ 表示数据组数。每组数据有一行, 两个正整数 n,m(n \leq 10^9, m \leq 10^9)n,m(n≤10​9​​,m≤10​9​​)。

输出描述

对于每组数据输出一行一个整数，代表最少需要的操作次数。

输入样例

31 22 23 3

输出样例

122

【思路】：

首先，如果先对偶数行取反，再对偶数列取反，可以得到一个$[n/2]+[m/2]$(下取整)的解, 只要说明这个这是答案的下界就可以了。 考虑第一列，每次操作最多使得两个第一列的相邻元素变得一样， 第一列有$n-1$对相邻元素,这样使得第一列变成一样的次数就是$[(n-1)/2]$(上取整)，同理考虑第一行即可。

代码：

/*Problem:BC#73 Rikka with ChessAuthor :javaherongweiRuntime:0msLanguage: G++Result  :Accepted*/#include<stdio.h>int main(){    int i,j,k,t,n,m,ans;    scanf("%d",&t);    while(t--){        scanf("%d%d",&n,&m);        printf("%d\n",n/2+m/2);    }    return 0;}

Rikka with Graph

 

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问题描述

众所周知，萌萌哒六花不擅长数学，所以勇太给了她一些数学问题做练习，其中有一道是这样的：给出一张 $n$ 个点 $n+1$ 条边的无向图，你可以选择一些边（至少一条）删除。现在勇太想知道有多少种方案使得删除之后图依然联通。当然，这个问题对于萌萌哒六花来说实在是太难了，你可以帮帮她吗？

输入描述

第一行一个整数表示数据组数 $T(T\le 30)$。每组数据的第一行是一个整数 $n(n\le 100)$。接下来 $n+1$ 行每行两个整数 $u,v$ 表示图中的一条边。

输出描述

对每组数据输出一行一个整数表示答案。

输入样例

131 22 33 11 3

输出样例

9

【思路】：

让 $n$ 个点联通最少需要 $n-1$ 条边，所以最多只能删除两条边，我们可以枚举删除的这两条边（或者唯一的一条边），然后暴力BFS判断连通性就好了。时间复杂度 O(n^3)O(n​3​​)。

代码：

/*Problem:BC#73 Rikka with GraphAuthor :javaherongweiRuntime:296msLanguage: G++Result  :Accepted*/#pragma comment(linker,"/STACK:102400000,102400000")#include <iostream>#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#include <cassert>#include <climits>#include <ctime>#include <numeric>#include <vector>#include <algorithm>#include <bitset>#include <math.h>#include <string.h>#include <iomanip>#include <complex>#include <deque>#include <functional>#include <list>#include <map>#include <string>#include <sstream>#include <set>#include <stack>#include <queue>using namespace std;template<class T> inline T sqr(T x){    return x * x;}typedef long long LL;typedef unsigned long long ULL;typedef long double db;typedef pair<int, int> PII;typedef pair<PII, int> PIII;typedef pair<LL, LL> PLL;typedef pair<LL, int> PLI;typedef pair<db, db> PDD;#define MP make_pair#define PB push_back#define sz(x) ((int)(x).size())#define mem(ar,val) memset(ar, val, sizeof(ar))#define istr stringstream#define FOR(i,n) for(int i=0;i<(n);++i)#define forIt(mp,it) for(__typeof(mp.begin()) it = mp.begin();it!=mp.end();it++)const double EPS = 1e-6;const int INF = 0x3fffffff;const LL LINF = INF * 1ll * INF;const double PI = acos(-1.0);const int maxn = 1e5+10;#define lson l,mid,rt<<1#define rson mid+1,r,rt<<1|1#define lowbit(u) (u&(-u))using namespace std;#define LETTER 26#define lowbit(a) a&-aint dir4[4][2]= {{1,0},{0,1},{-1,0},{0,-1}};int dir8[8][2]= {{1,0},{1,1},{0,1},{-1,1},{-1,0},{-1,-1},{0,-1},{1,-1}};int dir6[6][3]= {{0,0,1},{0,0,-1},{0,1,0},{0,-1,0},{1,0,0},{-1,0,0}};///六个方向int movv[5][2]= {{1,0},{0,1},{0,0},{-1,0},{0,-1}};inline LL read(){    int c=0,f=1;    char ch=getchar();    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}    while(ch>='0'&&ch<='9'){c=c*10+ch-'0';ch=getchar();}    return c*f;}int a[maxn],b[maxn],c[maxn];char s1[maxn],s2[maxn];struct node{    int u,v;} edge[maxn];int n;int fa[maxn];int Find(int x){     return x==fa[x]?x:fa[x]=Find(fa[x]);}int solve(int a,int b){    for(int i=1; i<=n; ++i) fa[i]=i;    for(int i=1; i<=n+1; ++i)    {        if(i==a|| i==b) continue;        int uu=Find(edge[i].u),vv=Find(edge[i].v);        if(uu!=vv) fa[uu]=vv;    }    int sum=0;    for(int i=1; i<=n; i++)    {        if(fa[i]==i)        {            sum++;            if(sum>1) return false;        }    }    return true;}int main(){    int t; t=read();    while(t--)    {        int ret=0;        n=read();        for(int i=1; i<=n+1; ++i)            scanf("%d%d",&edge[i].u,&edge[i].v);        for(int i=1; i<=n+1; ++i)            for(int j=i; j<=n+1; ++j)                ret+=solve(i,j);        printf("%d\n",ret);    }    return 0;}

Rikka with Array

 

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问题描述

众所周知，萌萌哒六花不擅长数学，所以勇太给了她一些数学问题做练习，其中有一道是这样的：有一个长度为 $n$ 的数组 $A$（下标为 $1$ 到 $n$），A_iA​i​​ 为 $i$ 的二进制表示中的1的个数，例如 $A[1]=1,A[3]=2,A[10]=2$。现在勇太想知道数组 $A$ 中满足 $A[i]>A[j]$ 的数对 $(i,j)(1\le i<j\le n)$ 的个数。当然，这个问题对于萌萌哒六花来说实在是太难了，你可以帮帮她吗？

输入描述

第一行一个整数表示数据组数 $T(T\le 10)$。每组数据第一行一个整数表示 n(n \leq 10^{300})n(n≤10​300​​)

输出描述

对于每组数据输出一行一个整数表示答案，因为答案可能很大，你只需要输出答案对 $998244353$ 取模之后的结果。

输入样例

110

输出样例

7

Hint

当 $n=10$ 的时候，数组 $A$ 为 $1,1,2,1,2,2,3,1,2,2$。答案为7。

【思路】：

很明显这是一道数位DP的题目，状态 $dp[i][j][k]$ 表示当前考虑了最高的 $i$ 位，两个数目前数位和的差是 $j$，当前两个数以及给定的 $n$之间的大小关系是 $k$，然后暴力枚举这两个数的当前位的值，然后转移就好了。时间复杂度 O(\log^2 n)O(log​2​​n)。

待补~~

Rikka with Sequence

 

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问题描述

众所周知，萌萌哒六花不擅长数学，所以勇太给了她一些数学问题做练习，其中有一道是这样的：有一个长度为 $n$ 的整数数组 $A$，$A$中每一个数都在区间 $[1,m]$ 中。现在你需要加入最少数量的数使得 $A$ 的平均数小于等于中位数（加入的数可以是实数）。加入的数必须在 $[1,m]$ 之间现在勇太想知道最少需要加入多少个数，以及在最小化加入数的个数的基础上，平均数最小能是多少。当然，这个问题对于萌萌哒六花来说实在是太难了，你可以帮帮她吗？

输入描述

第一行一个整数 $T(T\le 1000)$ 表示数据组数，其中 $n>100$ 的数据不超过 $5$ 组。每组数据第一行两个整数 n,m(n \leq 10^5,m \leq 10^9)n,m(n≤10​5​​,m≤10​9​​)。接下来一行 $n$ 个整数描述数组 $A$。

输出描述

对于每组数据输出一行两个数，第一个数表示最少添加的数字的数量，第二个数表示最小的平均数（保留三位小数）。

输入样例

13 51 2 5

输出样例

1 3.000

Hint

只需要加入数字 $4.000$ 就能满足条件。

【思路】：

这是一道没什么思维含量的题，但是细节比较多。

首先答案不超过 $n$，因为我们可以直接在原来平均数的位置加入 $n$ 个数，这样中位数就等于平均数了。

其次，答案满足二分性（指第一问），因为如果存在加入 $i$ 个数的方案，我们可以把多出来的数都放在当前平均数的位置，显然还是满足要求的。 所以我们可以先二分答案，这样问题就转化成了加入 $K$ 个数，在满足平均数小于等于中位数的同时最小化平均数。

可以发现最开始给出的 $n$ 个数把 $[1,m]$ 分成了 $n+1$ 个区间，我们可以枚举中位数在哪一个区间内，当然这儿要进行分类讨论，大致的情况有这么多种：

1.总数是奇数，中位数是原来给出的数。

2.总数是奇数，中位数是加入的数。

3.总数是偶数，中位数是原来给出的两个数的平均数。

4.总数是偶数，中位数是一个加入的数和一个比它大的原来给出的数的平均数。

5.总数是偶数，中位数是一个加入的数和一个比它小的原来给出的数的平均数。

6.总数是偶数，中位数是两个新加入的数的平均数。

对于每种情况，我们可以把中位数设为 $x$，然后直接贪心，这样就能得到一个方程，解出这个方程然后再判断解是否合法并更新答案就行了。（当然，如果再加思考的话可以发现上述情况并不是都需要考虑，有两个是不会影响答案的）

时间复杂度 $O(n\log n)$

待补~~

Rikka with Phi

 

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问题描述

给出一个长度为$n$的数组$A$，接下来有$m$次操作。$1lr$ 对所有区间$[l,r]$中的整数$i$，把A_iA​i​​变成$\phi (A[i])$(指欧拉函数)$2lrx$ 对所有区间$[l,r]$中的整数$i$，把$A[i]$变成$x$$3lr$ 询问$[l,r]$的区间和。

输入描述

第一行一个整数 $T(T\le 100)$ 表示数据组数，其中 n > 10^5n>10​5​​ 的数据不超过 $2$ 组。每组数据第一行两个整数 n,m(n \leq 3 \times 10^5, m \leq 3 \times 10^5)n,m(n≤3×10​5​​,m≤3×10​5​​)。接下来一行 $n$ 个整数描述数组 $A$。接下来$m$行, 每行若干个整数表示一次操作。保证在任意时刻 1 \leq A[i] \leq 10^71≤A[i]≤10​7​​。

输出描述

对于每一次询问输出一行，代表这个询问操作的答案。

输入样例

110 1056 90 33 70 91 69 41 22 77 451 3 91 1 103 3 82 5 6 741 1 83 1 91 2 101 4 92 8 8 693 3 9

输出样例

8012286

【思路】：

注意到10^710​7​​之内的数最多phi $O(log(n))$ 次就会变成$1$， 因此可以考虑把一段相同的不为$1$的数缩成一个点，用平衡树来维护。每次求phi的时候就在平衡树上取出这个区间然后暴力求phi，如果一段数变成了$1$，就在平衡树里面删掉它，最后统计答案的时候只要把区间中被删去的$1$加回答案即可，时间复杂度$O((n+m)logn)$

待补~~（平衡树：它是一 棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1，并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树。构造与调整方法 平衡二叉树的常用算法有红黑树、AVL、Treap等。 最小二叉平衡树的节点的公式如下 F(n)=F(n-1)+F(n-2)+1 这个类似于一个递归的数列，可以参考Fibonacci数列，1是根节点，F(n-1)是左子树的节点数量，F(n-2)是右子树的节点数量。）