程序员面试题精选100题(20)-最长公共子串[算法]
来源:互联网 发布:知乎app ipad 编辑:程序博客网 时间:2024/04/28 13:27
例如:输入两个字符串BDCABA和ABCBDAB,字符串BCBA和BDAB都是是它们的最长公共子串,则输出它们的长度4,并打印任意一个子串。
分析:求最长公共子串(Longest Common Subsequence, LCS)是一道非常经典的动态规划题,因此一些重视算法的公司像MicroStrategy都把它当作面试题。
完整介绍动态规划将需要很长的篇幅,因此我不打算在此全面讨论动态规划相关的概念,只集中对LCS直接相关内容作讨论。如果对动态规划不是很熟悉,请参考相关算法书比如算法讨论。
先介绍LCS问题的性质:记Xm={x0, x1,…xm-1}和Yn={y0,y1,…,yn-1}为两个字符串,而Zk={z0,z1,…zk-1}是它们的LCS,则:
1. 如果xm-1=yn-1,那么zk-1=xm-1=yn-1,并且Zk-1是Xm-1和Yn-1的LCS;
2. 如果xm-1≠yn-1,那么当zk-1≠xm-1时Z是Xm-1和Y的LCS;
3. 如果xm-1≠yn-1,那么当zk-1≠yn-1时Z是Yn-1和X的LCS;
下面简单证明一下这些性质:
1. 如果zk-1≠xm-1,那么我们可以把xm-1(yn-1)加到Z中得到Z’,这样就得到X和Y的一个长度为k+1的公共子串Z’。这就与长度为k的Z是X和Y的LCS相矛盾了。因此一定有zk-1=xm-1=yn-1。
既然zk-1=xm-1=yn-1,那如果我们删除zk-1(xm-1、yn-1)得到的Zk-1,Xm-1和Yn-1,显然Zk-1是Xm-1和Yn-1的一个公共子串,现在我们证明Zk-1是Xm-1和Yn-1的LCS。用反证法不难证明。假设有Xm-1和Yn-1有一个长度超过k-1的公共子串W,那么我们把加到W中得到W’,那W’就是X和Y的公共子串,并且长度超过k,这就和已知条件相矛盾了。
2. 还是用反证法证明。假设Z不是Xm-1和Y的LCS,则存在一个长度超过k的W是Xm-1和Y的LCS,那W肯定也X和Y的公共子串,而已知条件中X和Y的公共子串的最大长度为k。矛盾。
3. 证明同2。
有了上面的性质,我们可以得出如下的思路:求两字符串Xm={x0, x1,…xm-1}和Yn={y0,y1,…,yn-1}的LCS,如果xm-1=yn-1,那么只需求得Xm-1和Yn-1的LCS,并在其后添加xm-1(yn-1)即可;如果xm-1≠yn-1,我们分别求得Xm-1和Y的LCS和Yn-1和X的LCS,并且这两个LCS中较长的一个为X和Y的LCS。
如果我们记字符串Xi和Yj的LCS的长度为c[i,j],我们可以递归地求c[i,j]:
/ 0 if i<0 or j<0
c[i,j]= c[i-1,j-1]+1 if i,j>=0 and xi=xj
\ max(c[i,j-1],c[i-1,j] if i,j>=0 and xi≠xj
上面的公式用递归函数不难求得。但从前面求Fibonacci第n项(本面试题系列第16题)的分析中我们知道直接递归会有很多重复计算,我们用从底向上循环求解的思路效率更高。
为了能够采用循环求解的思路,我们用一个矩阵(参考代码中的LCS_length)保存下来当前已经计算好了的c[i,j],当后面的计算需要这些数据时就可以直接从矩阵读取。另外,求取c[i,j]可以从c[i-1,j-1] 、c[i,j-1]或者c[i-1,j]三个方向计算得到,相当于在矩阵LCS_length中是从c[i-1,j-1],c[i,j-1]或者c[i-1,j]的某一个各自移动到c[i,j],因此在矩阵中有三种不同的移动方向:向左、向上和向左上方,其中只有向左上方移动时才表明找到LCS中的一个字符。于是我们需要用另外一个矩阵(参考代码中的LCS_direction)保存移动的方向。
参考代码如下:
#include "string.h"// directions of LCS generationenum decreaseDir {kInit = 0, kLeft, kUp, kLeftUp};/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// Get the length of two strings' LCSs, and print one of the LCSs// Input: pStr1 - the first string// pStr2 - the second string// Output: the length of two strings' LCSs/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////int LCS(char* pStr1, char* pStr2){ if(!pStr1 || !pStr2) return 0; size_t length1 = strlen(pStr1); size_t length2 = strlen(pStr2); if(!length1 || !length2) return 0; size_t i, j; // initiate the length matrix int **LCS_length; LCS_length = (int**)(new int[length1]); for(i = 0; i < length1; ++ i) LCS_length[i] = (int*)new int[length2]; for(i = 0; i < length1; ++ i) for(j = 0; j < length2; ++ j) LCS_length[i][j] = 0; // initiate the direction matrix int **LCS_direction; LCS_direction = (int**)(new int[length1]); for( i = 0; i < length1; ++ i) LCS_direction[i] = (int*)new int[length2]; for(i = 0; i < length1; ++ i) for(j = 0; j < length2; ++ j) LCS_direction[i][j] = kInit; for(i = 0; i < length1; ++ i) { for(j = 0; j < length2; ++ j) { if(i == 0 || j == 0) { if(pStr1[i] == pStr2[j]) { LCS_length[i][j] = 1; LCS_direction[i][j] = kLeftUp; } else LCS_length[i][j] = 0; } // a char of LCS is found, // it comes from the left up entry in the direction matrix else if(pStr1[i] == pStr2[j]) { LCS_length[i][j] = LCS_length[i - 1][j - 1] + 1; LCS_direction[i][j] = kLeftUp; } // it comes from the up entry in the direction matrix else if(LCS_length[i - 1][j] > LCS_length[i][j - 1]) { LCS_length[i][j] = LCS_length[i - 1][j]; LCS_direction[i][j] = kUp; } // it comes from the left entry in the direction matrix else { LCS_length[i][j] = LCS_length[i][j - 1]; LCS_direction[i][j] = kLeft; } } } LCS_Print(LCS_direction, pStr1, pStr2, length1 - 1, length2 - 1); return LCS_length[length1 - 1][length2 - 1];} /////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// Print a LCS for two strings// Input: LCS_direction - a 2d matrix which records the direction of// LCS generation// pStr1 - the first string// pStr2 - the second string// row - the row index in the matrix LCS_direction// col - the column index in the matrix LCS_direction/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////void LCS_Print(int **LCS_direction, char* pStr1, char* pStr2, size_t row, size_t col){ if(pStr1 == NULL || pStr2 == NULL) return; size_t length1 = strlen(pStr1); size_t length2 = strlen(pStr2); if(length1 == 0 || length2 == 0 || !(row < length1 && col < length2)) return; // kLeftUp implies a char in the LCS is found if(LCS_direction[row][col] == kLeftUp) { if(row > 0 && col > 0) LCS_Print(LCS_direction, pStr1, pStr2, row - 1, col - 1); // print the char printf("%c", pStr1[row]); } else if(LCS_direction[row][col] == kLeft) { // move to the left entry in the direction matrix if(col > 0) LCS_Print(LCS_direction, pStr1, pStr2, row, col - 1); } else if(LCS_direction[row][col] == kUp) { // move to the up entry in the direction matrix if(row > 0) LCS_Print(LCS_direction, pStr1, pStr2, row - 1, col); }}
扩展:如果题目改成求两个字符串的最长公共子字符串,应该怎么求?子字符串的定义和子串的定义类似,但要求是连续分布在其他字符串中。比如输入两个字符串BDCABA和ABCBDAB的最长公共字符串有BD和AB,它们的长度都是2。
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