模式匹配算法KMP

Knuth-Morris-Pratt（KMP）算法

KMP算法是一种高效的前缀匹配算法，在传统蛮力（BF）匹配算法的基础上改进的地方在于每次移动的距离不是1可以是更大，没有进行回溯，BF算法的时间复杂度是O(m*n)，而KMP算法的时间复杂度是O(m+n)。

假设执行第i+1趟匹配时，如果比较模式串P中的第j个字符时不匹配，也就是有

T[i,i+1,...,i+j-1]=P[0,1,...,j-1]，T[i+j]≠P[j]  （打不了下标，就有数组的形式给出字符串）   (1)

BF算法下一趟是从目标的第i+1位置开始与模式串比较。如果匹配成功则有

T[i+1,i+2,...,i+m]=P[0,1,...m-1]                               (2)

如果模式串P有如下特征

P[0,1,...j-2]=P[1,2,...j-1]                     (3)

由（1）可知

T[i+1,i+2,...,i+j+1]=P[1,2,...j-1]                               (4)

由（3）（4）可知

T[i+1,i+2,...,i+j+1]≠P[0,1,...j-2]                               (5)

故由

T[i+1,i+2,....,i+m]≠P[0,1,...m-1]

所以第i+2趟是匹配可以不需要进行，因为一定不能匹配。

类似可以推得

P[0,1,...k-1]=P[j-k-1,j-k,...j-1]

这时才有

P[0,1,...k-1]=P[j-k-1,j-k,...j-1]=T[i+j-k,i+j-k+1,i+j-1]

模式串P从当前位置直接向右移动 j-k 位置，使模式串P的第 k 个字符P[k]与目标串T中的第i+j个字符对齐开始比较（前面 k 个已经匹配）。

造成BF算法效率低的主要原因是在算法执行过程中有回溯，而这些回溯是可以避免的。KMP算法的关键是在匹配失败时，确定下一次匹配的位置，设next[j]=k，表示当模式串P中第j个字符与母串T相应字符不匹配时，模式串P中应当由第K个字符与目标串中刚不匹配的字符对齐继续进行比较。

例如，模式串P="abaabcac"，其对应的next[j]如下：

i

0

1

2

3

4

5

6

7

t[i]

a

b

d

a

b

c

d

e

next[i]

-1

0

0

0

1

2

0

0

 

next数组构造

                          ╔   -1，   j=0;

            next[j]=         ║max{k| 0<k<j 且 P[0,1,...,k-1]=P[j-k,j-k+1,..j-1}

                                  ╚    0，    其他情况

next数组求解是一个递推过程，

设next[j]=k，则有

P[0,1,...k-1]=P[j-k,j-k+1,...,j-1]

            next[j]=         ╔ max{k| 0<k<j 且 P[0,1,...,k]=P[j-k,j-k+1,..j-1}

                                  ╚    0，    其他情况

如果P[k]=P[j]，有 next[j+1]=next[j]+1=k+1。

如果P[k]≠P[j]，有 P[0,1,...,k]≠P[j-k,j-k+1,...j],

假设next[j+1]=h+1，则有下式成立

P[0,1,...h]=P[j-h+1,j-k+1,...j]    P[h]=P[j]

又因为

P[0,1,...h-1]=P[j-h,j-k+1,...j-1]=P[k-h,k-h+1,k-1]    （next[k]=h的情况）

即此时实际只需要满足 next[k]=h（前面已经求解过）时，P[h]=P[j] 就有next[j+1]=h+1，否则（不存在这样的h）next[j+1]等于0。

由此可以得到计算next的递推公式

 

KMP算法实现

 /* *******************************************************************    created:    2006/07/02    filename:     KMP.cpp    author:        李创                 http://www.cppblog.com/converse/                                 参考资料: 严蔚敏<<数据结构>>    purpose:    KMP字符串匹配算法的演示******************************************************************** */  #include  < stdio.h > #include  < stdlib.h > #include  < assert.h > #include  < string .h >   #define  MAX_LEN_OF_STR    30             //  字符串的最大长度  typedef  struct  String                 //  这里需要的字符串数组,存放字符串及其长度  {     char     str[MAX_LEN_OF_STR];     //  字符数组       int         length;                     //  字符串的实际长度  } String,  * PString; //  得到字符串的next数组  void  GetNextArray(PString pstr,  int  next[]) {    assert(NULL  !=  pstr);     assert(NULL  !=  next);    assert(pstr -> length  >   0 );     //  第一个字符的next值是-1,因为C中的数组是从0开始的      next[ 0 ]  =   - 1 ;     for  ( int  i  =   0 , j  =   - 1 ; i  <  pstr -> length  -   1 ; )     {         //  i是主串的游标,j是模式串的游标         //  这里的主串和模式串都是同一个字符串           if  ( - 1   ==  j  ||                          //  如果模式串游标已经回退到第一个字符              pstr -> str[i]  ==  pstr -> str[j])     //  如果匹配成功           {             //  两个游标都向前走一步               ++ i;             ++ j;             //  存放当前的next值为此时模式串的游标值              next[i]  =  j;        }          else                                  //  匹配不成功j就回退到上一个next值           {            j  =  next[j];        }     } }   //  KMP字符串模式匹配算法 //  输入: S是主串,T是模式串,pos是S中的起始位置 //  输出: 如果匹配成功返回起始位置,否则返回-1  int  KMP(PString S, PString T,  int  pos) {    assert(NULL  !=  S);    assert(NULL  !=  T);    assert(pos  >=   0 );    assert(pos  <  S -> length);         if  (S -> length  <  T -> length)         return   - 1 ;    printf( " 主串\t = %s\n " , S -> str);    printf( " 模式串\t = %s\n " , T -> str);     int   * next  =  ( int   * )malloc(T -> length  *   sizeof ( int ));     //  得到模式串的next数组      GetNextArray(T, next);     int  i, j;     for  (i  =  pos, j  =   0 ; i  <  S -> length  &&  j  <  T -> length; )     {         //  i是主串游标,j是模式串游标           if  ( - 1   ==  j  ||                  //  模式串游标已经回退到第一个位置              S -> str[i]  ==  T -> str[j])  //  当前字符匹配成功           {             //  满足以上两种情况时两个游标都要向前进一步               ++ i;             ++ j;        }          else                          //   匹配不成功,模式串游标回退到当前字符的next值           {            j  =  next[j];        }     }      free(next);     if  (j  >=  T -> length)     {         //  匹配成功           return  i  -  T -> length;    }      else       {         //  匹配不成功           return   - 1 ;    } }