51nod 算法马拉松11 A 翻硬币

来源：互联网发布：淘宝网客户端官方下载编辑：程序博客网时间：2024/05/17 03:54

理论解法转自知乎，原文链接：http://www.zhihu.com/question/26570175/answer/33312310

题目链接：http://www.51nod.com/contest/problem.html#!problemId=1613

【有 n 个硬币，一开始全部正面朝上，每次可以翻转 k 个硬币（ k 小于 n ），那么至少要 p 次翻转，才能让所有硬币反面朝上，求 p 的值】

高能预警：
本题所用的数学工具不超过初中毕业水平，但情况繁多，完整讨论并不容易，结论写在最后。

解：

本题的精髓在于对奇偶性的讨论。

——情况1：若 n 为奇数——

1.1 若 k 为偶数 => 无解

证明：

若要让所有硬币最终翻面，则每个硬币都要翻面奇数次，共有奇数个硬币，所以所有硬币的翻面总数为奇数，但每次只能翻面偶数个硬币，显然不可能。证毕！

1.2 若 k 为奇数 => p为不小于 n/k 的最小奇数

（例1：n=7，k=5，那么 n/k =1.4 则 p=3 ）
（例2：n=25，k=7，那么 n/k= 25/7 则 p=5）

证明：

必要性：
若要让所有硬币最终翻面，则每个硬币都要翻面奇数次，共有奇数个硬币，所以所有硬币的翻面总数为奇数，而每次只能翻奇数个硬币，所以总的翻转次数必然是奇数次，而翻转次数不到 n/k 次时，并不能使所有硬币至少翻面1次，所以p至少是不小于 n/k 的最小奇数。

充分性：

当 $k=n-2$ 时，只要3次翻转即可

给硬币编号为1-n，
第1次翻转编号：1~n-2
第2次翻转编号：1~n-3、n-1
第3次翻转编号：1~n-3、n
Done！（前 n-3 个硬币翻面 3 次，后 3 个翻面 1 次）

当 $\frac{n}{3}\leq k<n-2$ 时，依然只要3次翻转

只要让前面的 $\frac{3k-n}{2}$ 个硬币翻转 3 次，后面的 $\frac{3n-3k}{2}$ 个硬币翻转 1 次即可。这是显然可以做到的。

当 $k<\frac{n}{3}$ 时，需要p次翻转（p为不小于 n/k 的最小奇数）

根据定义， $pk\geq n$ , $(p-2)k<n$ ，由于 $k<n$ ，所以 $pk<3n$ 这意味者翻转 p 次后，平均来说，每个硬币翻面次数小于3次。只要让前面的 $\frac{pk-n}{2}$ 个硬币翻转 3 次，后面的 $\frac{3n-pk}{2}$ 个硬币翻转 1 次即可。

——情况2：若 n 为偶数——

2.1 若 $\frac{n}{2}<k<n-1$ 且为偶数=> p=3

只要让前面的 $\frac{3k-n}{2}$ 个硬币翻转 3 次，后面的 $\frac{3n-3k}{2}$ 个硬币翻转 1 次即可。
这个情况，和 n 为奇数是类似的。

2.2 若 $\frac{n}{2}<k< n-1$ 且为奇数=>p为不小于 n/(n-k) 的最小偶数

这种情况比较特殊。
首先由奇偶性得出翻转次数必为偶数，而每一枚硬币翻转的次数为奇数，则每一枚硬币至少不翻转 1 次。
其次，每次有 n-k 枚不翻转，所以 p 必须不小于 n/(n-k) 。
方案：让前面 $\frac{kp-np+3n}{2}$ 硬币翻转 p-1 次，后面 $\frac{np-kp-n}{2}$ 硬币翻转 p-3 次

2.3 若 $k\leq \frac{n}{2}$ 且为偶数=> p为不小于 n/k 的最小整数

当 $k=\frac{n}{2}$ 时，显然 p=2；
反之，只要让前面的 $\frac{pk-n}{2}$ 个硬币翻转 3 次，后面的 $\frac{3n-pk}{2}$ 个硬币翻转 1 次即可。

2.4 若 $k\leq \frac{n}{2}$ 且为奇数=> p为不小于 n/k 的最小偶数

当 $k=\frac{n}{2}$ 时，显然 p=2；
反之，首先由奇偶性得出翻转次数必为偶数，
只要让前面的 $\frac{pk-n}{2}$ 个硬币翻转 3 次，后面的 $\frac{3n-pk}{2}$ 个硬币翻转 1 次即可。

————————————

综上所述：

若 n 为奇数：

若 k 为偶数 $\Rightarrow$ 无解
若 k 为奇数 $\Rightarrow$ p 为不小于 n/k 的最小奇数

若 n 为偶数：

若 k为偶数，且 $\frac{n}{2}<k<n-1 \Rightarrow p=3$
若 k为奇数，且 $\frac{n}{2}<k\leq n-1 \Rightarrow$ p 为不小于 n/(n-k) 的最小偶数
若 k为偶数，且 $k\leq \frac{n}{2}$ $\Rightarrow$ p 为不小于 n/k 的最小整数
若 k为奇数，且 $k\leq \frac{n}{2}$ $\Rightarrow$ p 为不小于 n/k 的最小偶数

// 翻硬币.cpp#include <bits/stdc++.h>#define LL long long#define lson l, m, rt<<1#define rson m+1, r, rt<<1|1#define PI 3.1415926535897932626#define EXIT exit(0);#define PAUSE system("pause");#define DEBUG puts("Here is a BUG");#define SYNC_CLOSE ios::sync_with_stdio(false);#define what_is(x) cout << #x << " is " << x << endl;#define CLEAR(name, init) memset(name, init, sizeof(name));const double eps = 1e-8;const int MAXN = (int)1e9 + 5;using namespace std;int solve(int n, int k) {    if (n & 1) {        if (k & 1) {            int tmp = n/k + bool(n % k);            tmp += tmp % 2 == 0;            return tmp;        }        return -1;    }    if (k == n - 1) return n;    if (k*2 == n) return 2;    if (k % 2 == 0) {        if (k > n / 2) return 3;        return n/k + bool(n % k);    }    if (k > n / 2) {        k = n - k;        int tmp = n/k + bool(n % k);        tmp += tmp % 2;        return tmp;    }    int tmp = n/k + bool(n % k);    tmp += tmp % 2;    return tmp;}int main(int argc, char const *argv[]) {#ifndef ONLINE_JUDGE    freopen("D:\\Documents\\Disk_Synchronous\\Programs\\Acm\\input.txt", "r", stdin);#endif    int n, k;    cin >> n >> k;    cout << solve(n, k) << endl;    return 0;}

1 0