【算法总结】Dynamic Programming 动态规划

1. 描述：
   往往用来解决求 1.max/min 2.Yes/No 3. Count(*)， 求的是某一情景下最大或最小值而不是具体的方案。
2. 例题：
   • 矩阵 Matrix:
     • Minimum Path Sum
       
     • Unique Paths II
     • Dungeon Game
       
     • Maximal Square
       
   • 单序列 sequence：
     • Word Break II
       
     • Coin Change
       
     • Palindrome Partitioning
   • 双序列 two sequence：
     • Edit Distance
     • Distinct Subsequences
       
     • Regular Expression Matching
       
3. 解决思路：
   • 状态：
     用一个数组保留历史结果的意义。往往是当前状态下最好的结果。Matrix则为[i][j]下最好结果，sequence为i时最好的结果，同理对于两个sequence在list1[i]和list2[j]的情况下的最好结果。
   • DP function：
     建立动态规划方程也叫状态转移方程。建立当前的结果与之前保留的结果之间的关系。
   • Initialization:
     初始化，最极限的状态，最开始的状态。
   • 结果：
     返回最后的最好结果。
     
     
4. 类型及代码示例
   • Matrix DP:
     一般是从最左上的状态到最右下的状态。观察当前的cell源自于哪几个前驱cell记性判断，写dp 方程。
     

     <span style="font-size:14px;">    public int minPathSum(int[][] grid) {        // write your code here        if(grid==null || grid.length==0 || grid[0].length==0){            return 0;        }        int[][] res = new int[grid.length][grid[0].length];        int m = grid.length;        int n = grid[0].length;        res[0][0] = grid[0][0];        for (int i=1; i<m; i++){            res[i][0] = res[i-1][0] + grid[i][0];         }        for (int j=1; j<n; j++){            res[0][j] = res[0][j-1] + grid[0][j];         }        for(int i=1; i<m; i++){            for (int j=1; j<n; j++){                res[i][j] = Math.min(res[i-1][j], res[i][j-1])+grid[i][j];            }        }        return res[m-1][n-1];    }</span>

     
     
     
   • 单序列，状态i代表是当前的i位置最好的结果。代表题目Word break。 res[i] = res[j] + correct(substring(j, i))，j和i之间的string能满足条件，同时加上j位置的最好结果结果。
     

     <span style="font-size:14px;">public boolean wordBreak(String s, Set<String> dict) {        if(s==null || s.length()==0){            return false;        }       boolean[] res = new boolean[s.length()+1];       res[0]=true;       for(int j=1;j<=s.length();j++){           for(int i=0;i<j;i++){               if(res[i]&&dict.contains(s.substring(i,j))){                   res[j]=true;                   break;               }           }       }       return res[s.length()];    }</span>

     
     
     
     
   • 双序列。状态[i][j]代表的是s1的[i]和s2的[j]的最好结果数。发现现有状态和之前状态之间的关系。
     
     

     <span style="font-size:14px;">public int minDistance(String word1, String word2) {        if(word1.length()==0)              return word2.length();          if(word2.length()==0)              return word1.length();        int[][] res = new int[word1.length()+1][word2.length()+1];        for(int i=0; i<word1.length()+1; i++){            res[i][0] = i;        }        for(int i=0; i<word2.length()+1; i++){            res[0][i] = i;        }        for(int i=0; i<word1.length(); i++){            for(int j=0; j<word2.length(); j++){                if(word1.charAt(i)==word2.charAt(j)){                    res[i+1][j+1]= res[i][j];                }else{                    res[i+1][j+1] = Math.min(Math.min(res[i+1][j], res[i][j]), res[i][j+1])+1;                }            }        }        return res[word1.length()][word2.length()];    }</span>