Lowest Common Ancestor

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• lintcode: (88) Lowest Common Ancestor

Given the root and two nodes in a Binary Tree. Find the lowest common ancestor(LCA) of the two nodes.The lowest common ancestor is the node with largest depth which is the ancestor of both nodes.Example        4    /     \  3         7          /     \        5         6For 3 and 5, the LCA is 4.For 5 and 6, the LCA is 7.For 6 and 7, the LCA is 7.

题解1 - 自底向上

初次接触这种题可能会没有什么思路，在没有思路的情况下我们就从简单例子开始分析！首先看看3和5，这两个节点分居根节点4的两侧，如果可以从子节点往父节点递推，那么他们将在根节点4处第一次重合；再来看看5和6，这两个都在根节点4的右侧，沿着父节点往上递推，他们将在节点7处第一次重合；最后来看看6和7，此时由于7是6的父节点，故7即为所求。从这三个基本例子我们可以总结出两种思路——自顶向下(从前往后递推)和自底向上(从后往前递推)。

顺着上述实例的分析，我们首先看看自底向上的思路，自底向上的实现用一句话来总结就是——如果遍历到的当前节点是 A/B 中的任意一个，那么我们就向父节点汇报此节点，否则递归到节点为空时返回空值。具体来说会有如下几种情况：

1. 当前节点不是两个节点中的任意一个，此时应判断左右子树的返回结果。

• 若左右子树均返回非空节点，那么当前节点一定是所求的根节点，将当前节点逐层向前汇报。// 两个节点分居树的两侧
• 若左右子树仅有一个子树返回非空节点，则将此非空节点向父节点汇报。// 节点仅存在于树的一侧
• 若左右子树均返回NULL, 则向父节点返回NULL. // 节点不在这棵树中

1. 当前节点即为两个节点中的一个，此时向父节点返回当前节点。

根据此递归模型容易看出应该使用中序遍历来实现。

C++ Recursion From Bottom to Top

/** * Definition of TreeNode: * class TreeNode { * public: *     int val; *     TreeNode *left, *right; *     TreeNode(int val) { *         this->val = val; *         this->left = this->right = NULL; *     } * } */class Solution {public:    /**     * @param root: The root of the binary search tree.     * @param A and B: two nodes in a Binary.     * @return: Return the least common ancestor(LCA) of the two nodes.     */    TreeNode *lowestCommonAncestor(TreeNode *root, TreeNode *A, TreeNode *B) {        // return either A or B or NULL        if (NULL == root || root == A || root == B) return root;        TreeNode *left = lowestCommonAncestor(root->left, A, B);        TreeNode *right = lowestCommonAncestor(root->right, A, B);        // A and B are on both sides        if ((NULL != left) && (NULL != right)) return root;        // either left or right or NULL        return (NULL != left) ? left : right;    }};

源码分析

结合例子和递归的整体思想去理解代码，在root == A || root == B后即层层上浮(自底向上)，直至找到最终的最小公共祖先节点。

最后一行return (NULL != left) ? left : right;将非空的左右子树节点和空值都包含在内了，十分精炼！leetcode

**> 细心的你也许会发现，其实题解的分析漏掉了一种情况，即树中可能只含有 A/B 中的一个节点！这种情况应该返回空值，但上述实现均返回非空节点。重复节点就不考虑了，太复杂了...

题解 - 自底向上(计数器)

为了解决上述方法可能导致误判的情况，我们可以对返回结果添加计数器来解决。由于此计数器的值只能由子树向上递推，故不能再使用中序遍历，而应该改用后序遍历。

定义pair<TreeNode *, int> result(node, counter)表示遍历到某节点时的返回结果，返回的node表示LCA 路径中的可能的最小节点，相应的计数器counter则表示目前和A或者B匹配的节点数，若计数器为2，则表示已匹配过两次，该节点即为所求，若只匹配过一次，还需进一步向上递推。表述地可能比较模糊，还是看看代码吧。

C++ Post-order(counter)

/** * Definition of TreeNode: * class TreeNode { * public: *     int val; *     TreeNode *left, *right; *     TreeNode(int val) { *         this->val = val; *         this->left = this->right = NULL; *     } * } */class Solution {public:    /**     * @param root: The root of the binary search tree.     * @param A and B: two nodes in a Binary.     * @return: Return the least common ancestor(LCA) of the two nodes.     */    TreeNode *lowestCommonAncestor(TreeNode *root, TreeNode *A, TreeNode *B) {        if ((NULL == A) || (NULL == B)) return NULL;        pair<TreeNode *, int> result = helper(root, A, B);        if (A != B) {            return (2 == result.second) ? result.first : NULL;        } else {            return (1 == result.second) ? result.first : NULL;        }    }private:    pair<TreeNode *, int> helper(TreeNode *root, TreeNode *A, TreeNode *B) {        TreeNode * node = NULL;        if (NULL == root) return make_pair(node, 0);        pair<TreeNode *, int> left = helper(root->left, A, B);        pair<TreeNode *, int> right = helper(root->right, A, B);        // return either A or B        int count = max(left.second, right.second);        if (A == root || B == root)  return make_pair(root, ++count);        // A and B are on both sides        if (NULL != left.first && NULL != right.first) return make_pair(root, 2);        // return either left or right or NULL        return (NULL != left.first) ? left : right;    }};

源码分析

在A == B时，计数器返回1的节点即为我们需要的节点，否则只取返回2的节点，如此便保证了该方法的正确性。对这种实现还有问题的在下面评论吧。

Reference

• leetcode

  . 
  Lowest Common Ancestor of a Binary Tree Part I | LeetCode

  • 清晰易懂的题解和实现。
    ↩

• Lowest Common Ancestor of a Binary Tree Part II | LeetCode - 如果存在指向父节点的指针，我们能否有更好的解决方案？

• Lowest Common Ancestor of a Binary Search Tree (BST) | LeetCode - 二叉搜索树中求最小公共祖先。

• Lowest Common Ancestor | 九章算法 - 第一种和第二种方法可以在知道父节点时使用，但第二种 Divide and Conquer 才是本题需要的思想（第二种解法可以轻易改成不需要 parent 的指针的）。