1010: [HNOI2008]玩具装箱toy DP+斜率优化+决策单调性

好久没做斜率优化辣，突然发现Page1上有一道斜率优化的裸题，借此来回顾一下。

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首先我们可以DP，令fi表示前i个玩具装箱花费的最小费用。
O(n2)的DP显然：

fi=min{fj+(i−j−1+∑k=j+1ick−L)2}

我们维护ci的前缀和sumi，上式转化为

fi=min{fj+(sumi−L+i−1+sumj−j)2}

然后为表述方便，我们令gi=sumi+i−L−1，令xi=sumi+i。
所以上式转化为

fi=min{fj+(gi−xj)2}=min{fj+g2i+x2j−2∗gi∗xj}

考虑这个方程有没有单调性：
设0<=k<j<i，且取j更优，即：

fk+x2k−2∗gi∗xk>fj+x2j−2∗gi∗xj

移项：

(fk+x2k)−(fj+x2j)>2∗hi∗(xk−xj)

我们令yi=fi+x2i，容易发现xi,yi均单调，所以继续移项我们有：

yk−yjxk−xj<2∗gi

这是一个看起来类似斜率的式子。
由于xi,yi,gi均单调，所以如果某一个点不如它之后的点，这个点以后再也不会被用到，所以我们可以用单调队列来维护一个下凸壳，取得最优决策的点一定在凸壳上。
然后就好啦~这是最裸的斜率优化+决策单调性辣。

#include<iostream>#include<cstdio>#define ll long long #define N 50005using namespace std;int n,L;int q[N];ll c[N],sum[N],X[N],Y[N],f[N],g[N];inline ll read(){    ll a=0,f=1; char c=getchar();    while (c<'0'||c>'9') {if (c=='-') f=-1; c=getchar();}    while (c>='0'&&c<='9') {a=a*10+c-'0'; c=getchar();}    return a*f;}int main(){    n=read(); L=read();    for (int i=1;i<=n;i++) c[i]=read(),sum[i]=sum[i-1]+c[i];    int l=0,r=0;    for (int i=1;i<=n;i++)    {        g[i]=sum[i]+i-L-1;        while (l<r&&Y[q[l+1]]-Y[q[l]]<=2*(X[q[l+1]]-X[q[l]])*g[i]) l++;        f[i]=Y[q[l]]+g[i]*g[i]-2*g[i]*X[q[l]];        X[i]=sum[i]+i;        Y[i]=f[i]+X[i]*X[i];        while (l<r&&(Y[i]-Y[q[r]])*(X[q[r]]-X[q[r-1]])<=(Y[q[r]]-Y[q[r-1]])*(X[i]-X[q[r]])) r--;        q[++r]=i;    }    cout << f[n] << endl;    return 0;}