HDU3507 [斜率优化]

                                                                          r

题意：把n分成任意段（每段中连续），每一段代价(∑ ci  ) +m         求总的最小代价

                                                                          i=l

作为提醒自己的经验题，即使再水也要记住坑点(其实是自己被坑的地方- -)

斜率优化裸题- -

首先定义dp[i]表示把前i个处理好的最小代价

dp[i]=min{dp[j]+m+(sum[i]-sum[j])^2}

一看这个转移就是n^2的，我们来搞成O(n)的。

h[i]=m+sum[i]^2,g[j]=sum[j]^2

->>      dp[i]=dp[j]+h[i]+g[j]-2sum[i]sum[j]

考虑对于一个j1<j2<i，如果j2更优

dp[j1]+g[j1]-2sum[i]sum[j1]>dp[j2]+g[j2]-2sum[i]sum[j2]

令y=dp[j]+g[j]

(y[j1]-y[j2])/(sum[j1]-sum[j2])<2sum[i]       (sum[j1]<sum[j2]，递增的)

然后就搞成了斜率

令左边为T(j1,j2),T(j1,j2)<2sum[i]时，j2更优

对于x<y,T(x,y)<2sum[i]<2sum[i+1]<````,也就是T(x,y)永远满足条件,y一定最优,x可以删去

我们要维护的就是T(x,y)>2sum[i]这一部分

我们考虑对于T(j1,j2),T(j2,j3)应该怎么维护：

对于T(j1,j2)>2sum[i]时，j1更优，j2不是最优;

对于T(j1,j2)<2sum[i]时，如果T(j2,j3)<T(j1,j2)<2sum[i]，那么j2比j1优，j3比j2优，j2不是最优，

所以T(j1,j2)>T(j2,j3)的时候，j2一定不是最优的。

所以我们要维护T(j1,j2)<T(j2,j3)

综上，

我们要维护2sum[i]<T(j1,j2)<T(j2,j3)<T(j3,j4)<T(j4,j5)<T(j5,j6)<`````

此时j1最优。

就维护一个T>sum[i]的序列并且递增

好了，接下来说明坑点：

以前写Toy那道题,我直接double求斜率，然而这一次不适用，我才发现直接求double斜率会挂精度！！！！

所以我们先看成维护斜率，在判断的时候把分母乘到右边去，用乘法代替除法，大概估算用long long不会超！

#include<cstdio>#include<iostream>#include<cstring>#include<cstdlib>#include<algorithm>#include<queue>#include<cmath>#define ll long longusing namespace std;const ll maxn=500000+20;ll dp[maxn];//dp[i] means min cost of [1,i]/*dp[i]=min{dp[j]+(sum[i]-sum[j])^2+M}dp[i]=dp[j]+sum[i]^2+sum[j]^2-2sum[i]sum[j]+Mh[i]=sum[i]^2+M;g[j]=sum[j]^2dp[i]=dp[j]+h[i]+g[j]-2sum[i]sum[j]对于j1<j2 j2更优dp[j1]+g[j1]-2sum[i]sum[j1]>dp[j2]+g[j2]-2sum[i]sum[j2]y[j]=dp[j]+g[j](y[j1]-y[j2]) /(sum[j1]-sum[j2])<2sum[i]T(j1,j2)表示(j1<j2)的斜率T(j1,j2)<2sum[i]表示j2更优  sum[i]递增 即T(j1,j2)>2sum[i]表示j1更优 ifx<y   T(x,y)<2sum[i]<2sum[i+1]<```   y一定更优,x舍去所以维护T(x,y)>2sum[i]考虑T(j1,j2)>2sum[i]，j1更优sum[i]增大，要满足这个条件，T()也应该递增T(j1,j2)>2sum[i]，j1更优T(j1,j2)<2sum[i]时，如果T(j2,j3)<T(j1,j2)<2sum[i]，一定有j3更优所以斜率递减时j2不会成为最优解 2sum[i]<T(j1,j2)<T(j2,j3)<``` */ll n,m;ll q[maxn];ll sum[maxn];ll head,tail;ll up(ll x,ll y){return dp[x]-dp[y]+sum[x]*sum[x]-sum[y]*sum[y];}ll down(ll x,ll y){return sum[x]-sum[y];}int main(){while(scanf("%I64d%I64d",&n,&m)!=EOF){head=tail=0;dp[0]=0;q[0]=0;sum[0]=0;for(ll i=1;i<=n;i++){ll x;scanf("%I64d",&x);sum[i]=sum[i-1]+x;}for(ll i=1;i<=n;i++){while(head<tail&&up(q[head],q[head+1])>=2*sum[i]*down(q[head],q[head+1]))head++;ll j=q[head];dp[i]=dp[j]+m+(sum[i]-sum[j])*(sum[i]-sum[j]);while(head<tail&&up(q[tail-1],q[tail])*down(q[tail],i)>=up(q[tail],i)*down(q[tail-1],q[tail]))tail--;q[++tail]=i;}printf("%I64d\n",dp[n]);}return 0;}