数据结构(15)--哈夫曼树以及哈夫曼编码的实现

参考书籍：数据结构（C语言版）严蔚敏吴伟民编著清华大学出版社

1.哈夫曼树

    假设有n个权值{w1, w2, ..., wn}，试构造一棵含有n个叶子结点的二叉树，每个叶子节点带权威wi，则其中带权路径长度WPL最小的二叉树叫做最优二叉树或者哈夫曼树。

    特点：哈夫曼树中没有度为1的结点，故由n0 = n2+1以及m= n0+n1+n2，n1=0可推出m=2*n0-1，即一棵有n个叶子节点的哈夫曼树共有2n-1个节点。

2.哈夫曼编码

    通信传送的目标是使总码长尽可能的短。

    变长编码的原则：
    1.使用频率高的字符用尽可能短的编码（这样可以减少数据传输量）；
    2.任一字符的编码都不能作为另一个字符编码的开始部分（这样就使得在两个字符的编码之间不需要添加分隔符号）。这种编码称为前缀编码。

    根据每种字符在电文中出现的次数构造哈夫曼树，将哈夫曼树中每个分支结点的左分支标上0，右分支标上1，把从根结点到每个叶子结点的路径上的标号连接起来，作为叶结点所代表的字符的编码。这样得到的编码称为哈夫曼编码。

    思考：为什么哈夫曼编码符合变长编码的原则？哈夫曼树所构造出的编码的长度是不是最短的？

     哈夫曼树求得编码为最优前缀码的原因： 在构造哈夫曼树的过程中：

    1.权值大的在上层，权值小的在下层。满足出现频率高的码长短。
　2.树中没有一片叶子是另一叶子的祖先，每片叶子对应的编码就不可能是其它叶子编码的前缀。即上述编码是二进制的前缀码。
    假设每种字符在电文中出现的次数为wi （出现频率即为权值），其码长为li，电文中只有n种字符，则编码后电文总码长为，而哈夫曼树是WPL最小的二叉树，因此哈夫曼编码的码长最小。

3.哈夫曼编码实例

四种字符以及他们的权值：a:30, b:5, c:10, d:20

第一步：构建哈夫曼树

第二步：为哈夫曼树的每一条边编码

第三步：生成哈夫曼编码表

4.代码实现

4.1哈夫曼树定义

哈夫曼树的存储结构：采用静态三叉链表

#include<stdio.h>#include<stdlib.h>#include<string.h>#define N 4//带权值的叶子节点数或者是需要编码的字符数#define M 2*N-1//n个叶子节点构造的哈夫曼树有2n-1个结点#define MAX 10000typedef char TElemType;//静态三叉链表存储结构typedef struct{//TElemType data;unsigned int weight;//权值只能是正数int parent;int lchild;int rchild;}HTNode;//, *HuffmanTree;typedef HTNode HuffmanTree[M+1];//0号单元不使用typedef char * HuffmanCode[N+1];//存储每个字符的哈夫曼编码表，是一个字符指针数组，每个数组元素是指向字符指针的指针

4.2构造哈夫曼树

//构造哈夫曼树void createHuffmanTree(HuffmanTree &HT, int *w, int n){if(n <= 1)return;//对树赋初值for(int i = 1; i <= n; i++){//HT前n个分量存储叶子节点，他们均带有权值HT[i].weight = w[i];HT[i].lchild = 0;HT[i].parent = 0;HT[i].rchild = 0;}for(; i <=M; i++){//HT后m-n个分量存储中间结点，最后一个分量显然是整棵树的根节点HT[i].weight = 0;HT[i].lchild = 0;HT[i].parent = 0;HT[i].rchild = 0;}//开始构建哈夫曼树，即创建HT的后m-n个结点的过程，直至创建出根节点。用哈夫曼算法for(i = n+1; i <= M; i++){int s1, s2;select(HT, i-1, s1, s2);//在HT[1...i-1]里选择parent为0的且权值最小的2结点，其序号分别为s1,s2，parent不为0说明该结点已经参与构造了，故不许再考虑HT[s1].parent = i;HT[s2].parent = i;HT[i].lchild = s1;HT[i].rchild = s2;HT[i].weight = HT[s1].weight + HT[s2].weight;}}

//在HT[1...k]里选择parent为0的且权值最小的2结点，其序号分别为s1,s2，parent不为0说明该结点已经参与构造了，故不许再考虑void select(HuffmanTree HT, int k, int &s1, int &s2){//假设s1对应的权值总是<=s2对应的权值unsigned int tmp = MAX, tmpi = 0;for(int i = 1; i <= k; i++){if(!HT[i].parent){//parent必须为0if(tmp > HT[i].weight){tmp = HT[i].weight;//tmp最后为最小的weighttmpi = i;}}}s1 = tmpi;tmp = MAX;tmpi = 0;for(i = 1; i <= k; i++){if((!HT[i].parent) && i!=s1){//parent为0if(tmp > HT[i].weight){tmp = HT[i].weight;tmpi = i;}}}s2 = tmpi;}

打印哈夫曼树

//打印哈夫曼满树void printHuffmanTree(HuffmanTree HT, char ch[]){printf("\n");printf("data, weight, parent, lchild, rchild\n");for(int i = 1; i <= M; i++){if(i > N){printf("  -, %5d, %5d, %5d, %5d\n", HT[i].weight, HT[i].parent, HT[i].lchild, HT[i].rchild);}else{printf("  %c, %5d, %5d, %5d, %5d\n", ch[i], HT[i].weight, HT[i].parent, HT[i].lchild, HT[i].rchild);}}printf("\n");}

4.3编码

为哈夫曼树的每一条分支编码，并生成哈夫曼编码表HC

//为每个字符求解哈夫曼编码，从叶子到根逆向求解每个字符的哈夫曼编码void encodingHuffmanCode(HuffmanTree HT, HuffmanCode &HC){//char *tmp = (char *)malloc(n * sizeof(char));//将每一个字符对应的编码放在临时工作空间tmp里，每个字符的编码长度不会超过nchar tmp[N];tmp[N-1] = '\0';//编码的结束符int start, c, f;for(int i = 1; i <= N; i++){//对于第i个待编码字符即第i个带权值的叶子节点start = N-1;//编码生成以后，start将指向编码的起始位置c = i;f = HT[i].parent;while(f){//f!=0,即f不是根节点的父节点if(HT[f].lchild == c){tmp[--start] = '0';}else{//HT[f].rchild == c,注意:由于哈夫曼树中只存在叶子节点和度为2的节点，所以除开叶子节点，节点一定有左右2个分支tmp[--start] = '1';}c = f;f = HT[f].parent;}HC[i] = (char *)malloc((N-start)*sizeof(char));//每次tmp的后n-start个位置有编码存在strcpy(HC[i], &tmp[start]);//将tmp的后n-start个元素分给H[i]指向的的字符串}}

打印哈夫曼编码表，当编码表生成以后，以后就可以对字符串进行编码了，只要对应编码表进行转换即可

//打印哈夫曼编码表void printHuffmanCoding(HuffmanCode HC, char ch[]){printf("\n");for(int i = 1; i <= N; i++){printf("%c:%s\n", ch[i], HC[i]);}printf("\n");}

4.4解码

//解码过程：从哈夫曼树的根节点出发，按字符'0'或'1'确定找其左孩子或右孩子，直至找到叶子节点即可，便求得该字串相应的字符void decodingHuffmanCode(HuffmanTree HT, char *ch, char testDecodingStr[], int len, char *result){int p = M;//HT的最后一个节点是根节点，前n个节点是叶子节点int i = 0;//指示测试串中的第i个字符//char result[30];//存储解码以后的字符串int j = 0;//指示结果串中的第j个字符while(i<len){if(testDecodingStr[i] == '0'){p = HT[p].lchild;}if(testDecodingStr[i] == '1'){p = HT[p].rchild;}if(p <= N){//p<=N则表明p为叶子节点,因为在构造哈夫曼树HT时，HT的m个节点中前n个节点为叶子节点result[j] = ch[p];j++;p = M;//p重新指向根节点}i++;}result[j] = '\0';//结果串的结束符}

4.5演示

void main(){HuffmanTree HT;TElemType ch[N+1];//0号单元不使用，存储n个等待编码的字符int w[N+1];//0号单元不使用，存储n个字符对应的权值printf("请输入%d个字符以及该字符对应的权值(如:a,20):\n", N);for(int i = 1; i <= N; i++){scanf("%c,%d", &ch[i], &w[i]);getchar();//吃掉换行符}//即w里第i个权值对应的是ch里第i个字符元素createHuffmanTree(HT, w , N);//构建哈夫曼树printHuffmanTree(HT, ch);HuffmanCode HC;//HC有n个元素，每个元素是一个指向字符串的指针，即每个元素是一个char *的变量encodingHuffmanCode(HT, HC);//为每个字符求解哈夫曼编码printHuffmanCoding(HC, ch);//解码测试用例：abaccda----01000101101110char * testDecodingStr = "01000101101110";int testDecodingStrLen = 14;printf("编码%s对应的字符串是：", testDecodingStr);char result[30];//存储解码以后的字符串decodingHuffmanCode(HT, ch, testDecodingStr, testDecodingStrLen, result);//解码（译码），通过一段给定的编码翻译成对应的字符串printf("%s\n", result);}