【快速傅里叶变换】[UOJ#34]多项式乘法

来源：互联网发布：普通话软件编辑：程序博客网时间：2024/06/06 12:38

题目

这是一道模板题。

给你两个多项式，请输出乘起来后的多项式。

输入格式
第一行两个整数 nn 和 mm，分别表示两个多项式的次数。

第二行 n+1n+1 个整数，分别表示第一个多项式的 00 到 nn 次项前的系数。

第三行 m+1m+1 个整数，分别表示第一个多项式的 00 到 mm 次项前的系数。

输出格式
一行 n+m+1n+m+1 个整数，分别表示乘起来后的多项式的 00 到 n+mn+m 次项前的系数。

样例一
input

1 2
1 2
1 2 1

output

1 4 5 2

explanation

(1+2x)⋅(1+2x+x2)=1+4x+5x2+2x3。

限制与约定
0≤n,m≤1050≤n,m≤105，保证输入中的系数大于等于 00 且小于等于 99。

时间限制：1s1s
空间限制：256MB

分析

如题目，这道题就是快速傅里叶变换的模板题，我在此粘模板，感谢Quack_quack大神的讲解。

代码

递归版

这里写图片描述

#include<cstdio>#include<algorithm>#include<cstring>#include<cmath>#define MAXN 300000using namespace std;int n,m,N;struct cpx{    double r,i;    cpx(){}    cpx(double rr,double ii){        r=rr,i=ii;    }    inline cpx operator+(const cpx &x){        return cpx(r+x.r,i+x.i);    }    inline cpx operator-(const cpx&x){        return cpx(r-x.r,i-x.i);    }    inline cpx operator*(const cpx&x){        return cpx(r*x.r-i*x.i,r*x.i+i*x.r);    }    inline void operator*=(const cpx&x){        *this=*this*x;    }}a[MAXN+10],b[MAXN+10],c[MAXN+10],d[MAXN+10];template<class T>void Read(T &x){    char c;    while(c=getchar(),c!=EOF)        if(c>='0'&&c<='9'){            x=c-'0';            while(c=getchar(),c>='0'&&c<='9')                x=x*10+c-'0';            ungetc(c,stdin);            return;        }}void read(){    Read(n),Read(m);    int i;    for(i=0;i<=n;i++)        Read(a[i].r);    for(i=0;i<=m;i++)        Read(b[i].r);}inline cpx cpx_pow(double n){    return cpx(cos(n),sin(n));}void fft(cpx *in,cpx *out,int step,int size,int dir){    if(size==1){        out[0]=in[0];        return;    }    fft(in,out,(step<<1),(size>>1),dir);    fft(in+step,out+(size>>1),(step<<1),(size>>1),dir);    int t=size>>1;    cpx w(1,0),w1(cos(dir*2*M_PI/size),sin(dir*2*M_PI/size)),tt;    for(int i=0;i<t;i++,w*=w1){        cpx even=out[i],odd=out[i+(size>>1)];        tt=w*odd;        out[i]=even+tt;        out[i+t]=even-tt;    }}void solve(){    int i,L=n+m+1;    for(N=1;N<L;N<<=1);    fft(a,c,1,N,1);    fft(b,d,1,N,1);    for(i=0;i<N;i++)        c[i]*=d[i];    fft(c,a,1,N,-1);}void print(){    int i,t=n+m;    for(i=0;i<=t;i++)        printf("%d ",int((a[i].r/N)+0.1));}int main(){    read();    solve();    print();}

迭代版

一种蝴蝶操作

这里写图片描述

#include<cstdio>#include<algorithm>#include<cstring>#include<cmath>#define MAXN 300000using namespace std;template<class T>void Read(T &x){    char c;    while(c=getchar(),c!=EOF)        if(c>='0'&&c<='9'){            x=c-'0';            while(c=getchar(),c>='0'&&c<='9')                x=x*10+c-'0';            ungetc(c,stdin);            return;        }}struct cpx{    double r,i;    cpx(){    }    cpx(double rr,double ii){        r=rr,i=ii;    }    inline cpx operator+(const cpx &x)const{        return cpx(r+x.r,i+x.i);    }    inline cpx operator-(const cpx &x)const{        return cpx(r-x.r,i-x.i);    }    inline cpx operator*(const cpx &x)const{        return cpx(r*x.r-i*x.i,r*x.i+i*x.r);    }    inline void operator*=(const cpx &x){        *this=*this*x;    }}a[MAXN+10],b[MAXN+10];int n,m,r[MAXN+10],Log,Len,N;void read(){    Read(n),Read(m);    int i;    for(i=0;i<=n;i++)        Read(a[i].r);    for(i=0;i<=m;i++)        Read(b[i].r);}void fft(cpx *a,int f){    int i,j,k;    for(i=0;i<N;i++)        if(i<r[i])            swap(a[i],a[r[i]]);    for(i=1;i<N;i<<=1){        cpx wn(cos(M_PI/i),f*sin(M_PI/i));   //i是size/2，所以不用乘2        int t=i<<1;        for(j=0;j<N;j+=t){            cpx w(1,0);            for(k=0;k<i;k++,w*=wn){                cpx x=a[j+k],y=w*a[j+k+i];                a[j+k]=x+y,a[j+k+i]=x-y;            }        }    }    if(f==-1)        for(i=0;i<N;i++)            a[i].r/=N;}void solve(){    int i;    Len=n+m;    for(N=1;N<=Len;N<<=1)        Log++;    for(i=0;i<N;i++)        r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(Log-1));    fft(a,1);    fft(b,1);    for(i=0;i<N;i++)        a[i]*=b[i];    fft(a,-1);}void print(){    int i;    for(i=0;i<=Len;i++)        printf("%d ",int(a[i].r+0.1));}int main(){    read();    solve();    print();}

另一种蝴蝶操作

#include<cstdio>#include<algorithm>#include<cstring>#include<cmath>#define MAXN 300000using namespace std;template<class T>void Read(T &x){    char c;    while(c=getchar(),c!=EOF)        if(c>='0'&&c<='9'){            x=c-'0';            while(c=getchar(),c>='0'&&c<='9')                x=x*10+c-'0';            ungetc(c,stdin);            return;        }}struct cpx{    double r,i;    cpx(){    }    cpx(double rr,double ii){        r=rr,i=ii;    }    inline cpx operator+(const cpx &x)const{        return cpx(r+x.r,i+x.i);    }    inline cpx operator-(const cpx &x)const{        return cpx(r-x.r,i-x.i);    }    inline cpx operator*(const cpx &x)const{        return cpx(r*x.r-i*x.i,r*x.i+i*x.r);    }    inline void operator*=(const cpx &x){        *this=*this*x;    }}a[MAXN+10],b[MAXN+10];int n,m,Len,N;void read(){    Read(n),Read(m);    int i;    for(i=0;i<=n;i++)        Read(a[i].r);    for(i=0;i<=m;i++)        Read(b[i].r);}void fft(cpx *a,int f){    int i,j,k;    for(i=1,j=0;i<N-1;++i)    {        for(int d=N;j^=d>>=1,~j&d;);        if(i<j)swap(a[i],a[j]);    }    for(i=1;i<N;i<<=1){        cpx wn(cos(M_PI/i),f*sin(M_PI/i));   //i是size/2，所以不用乘2        for(j=0;j<N;j+=i<<1){            cpx w(1,0);            for(k=0;k<i;k++,w*=wn){                cpx x=a[j+k],y=w*a[j+k+i];                a[j+k]=x+y,a[j+k+i]=x-y;            }        }    }    if(f==-1)        for(i=0;i<N;i++)            a[i].r/=N;}void solve(){    int i;    Len=n+m;    for(N=1;N<=Len;N<<=1);    fft(a,1);    fft(b,1);    for(i=0;i<N;i++)        a[i]*=b[i];    fft(a,-1);}void print(){    for(int i=0;i<=Len;i++)        printf("%d ",int(a[i].r+0.1));}int main(){    read();    solve();    print();}

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