二叉查找树

1：定义

   查找树的定义非常简单，一句话就是左孩子比父节点小，右孩子比父节点大，还有一个特性就是”中序遍历“可以让结点有序。

2：树节点

为了具有通用性，我们定义成泛型模板，在每个结点中增加一个”数据附加域”。

 1     /// <summary> 2     /// 二叉树节点 3     /// </summary> 4     /// <typeparam name="K"></typeparam> 5     /// <typeparam name="V"></typeparam> 6     public class BinaryNode<K, V> 7     { 8         /// <summary> 9         /// 节点元素10         /// </summary>11         public K key;12 13         /// <summary>14         /// 节点中的附加值15         /// </summary>16         public HashSet<V> attach = new HashSet<V>();17 18         /// <summary>19         /// 左节点20         /// </summary>21         public BinaryNode<K, V> left;22 23         /// <summary>24         /// 右节点25         /// </summary>26         public BinaryNode<K, V> right;27 28         public BinaryNode() { }29 30         public BinaryNode(K key, V value, BinaryNode<K, V> left, BinaryNode<K, V> right)31         {32             //KV键值对33             this.key = key;34             this.attach.Add(value);35 36             this.left = left;37             this.right = right;38         }39     }

 

3：添加

   根据查找树的性质我们可以很简单的写出Add的代码，一个一个的比呗，最终形成的效果图如下

这里存在一个“重复节点”的问题，比如说我在最后的树中再插入一个元素为15的结点，那么此时该怎么办，一般情况下，我们最好

不要在树中再追加一个重复结点，而是在“重复节点"的附加域中进行”+1“操作。

 1        #region 添加操作 2         /// <summary> 3         /// 添加操作 4         /// </summary> 5         /// <param name="key"></param> 6         /// <param name="value"></param> 7         public void Add(K key, V value) 8         { 9             node = Add(key, value, node);10         }11         #endregion12 13         #region 添加操作14         /// <summary>15         /// 添加操作16         /// </summary>17         /// <param name="key"></param>18         /// <param name="value"></param>19         /// <param name="tree"></param>20         /// <returns></returns>21         public BinaryNode<K, V> Add(K key, V value, BinaryNode<K, V> tree)22         {23             if (tree == null)24                 tree = new BinaryNode<K, V>(key, value, null, null);25 26             //左子树27             if (key.CompareTo(tree.key) < 0)28                 tree.left = Add(key, value, tree.left);29 30             //右子树31             if (key.CompareTo(tree.key) > 0)32                 tree.right = Add(key, value, tree.right);33 34             //将value追加到附加值中（也可对应重复元素）35             if (key.CompareTo(tree.key) == 0)36                 tree.attach.Add(value);37 38             return tree;39         }

 

4:范围查找

    这个才是我们使用二叉树的最终目的，既然是范围查找，我们就知道了一个”min“和”max“，其实实现起来也很简单，

第一步：我们要在树中找到min元素，当然min元素可能不存在，但是我们可以找到min的上界，耗费时间为O(logn)。

第二步：从min开始我们中序遍历寻找max的下界。耗费时间为m。m也就是匹配到的个数。

 

最后时间复杂度为M+logN，要知道普通的查找需要O(N)的时间，比如在21亿的数据规模下，匹配的元素可能有30个，那么最后

的结果也就是秒杀和几个小时甚至几天的巨大差异，后面我会做实验说明。

 1         #region 树的指定范围查找 2         /// <summary> 3         /// 树的指定范围查找 4         /// </summary> 5         /// <param name="min"></param> 6         /// <param name="max"></param> 7         /// <returns></returns> 8         public HashSet<V> SearchRange(K min, K max) 9         {10             HashSet<V> hashSet = new HashSet<V>();11 12             hashSet = SearchRange(min, max, hashSet, node);13 14             return hashSet;15         }16         #endregion17 18         #region 树的指定范围查找19         /// <summary>20         /// 树的指定范围查找21         /// </summary>22         /// <param name="range1"></param>23         /// <param name="range2"></param>24         /// <param name="tree"></param>25         /// <returns></returns>26         public HashSet<V> SearchRange(K min, K max, HashSet<V> hashSet, BinaryNode<K, V> tree)27         {28             if (tree == null)29                 return hashSet;30 31             //遍历左子树（寻找下界）32             if (min.CompareTo(tree.key) < 0)33                 SearchRange(min, max, hashSet, tree.left);34 35             //当前节点是否在选定范围内36             if (min.CompareTo(tree.key) <= 0 && max.CompareTo(tree.key) >= 0)37             {38                 //等于这种情况39                 foreach (var item in tree.attach)40                     hashSet.Add(item);41             }42 43             //遍历右子树（两种情况：①:找min的下限 ②：必须在Max范围之内）44             if (min.CompareTo(tree.key) > 0 || max.CompareTo(tree.key) > 0)45                 SearchRange(min, max, hashSet, tree.right);46 47             return hashSet;48         }

 

5：删除

   对于树来说，删除是最复杂的，主要考虑两种情况。

<1>单孩子的情况

     这个比较简单，如果删除的节点有左孩子那就把左孩子顶上去，如果有右孩子就把右孩子顶上去，然后打完收工。

<2>左右都有孩子的情况。

     首先可以这么想象，如果我们要删除一个数组的元素，那么我们在删除后会将其后面的一个元素顶到被删除的位置，如图

       

那么二叉树操作同样也是一样，我们根据”中序遍历“找到要删除结点的后一个结点，然后顶上去就行了，原理跟"数组”一样一样的。

同样这里也有一个注意的地方，在Add操作时，我们将重复元素的值追加到了“附加域”，那么在删除的时候，就可以先判断是

不是要“-1”操作而不是真正的删除节点，其实这里也就是“懒删除”，很有意思。

 1         #region 删除当前树中的节点 2         /// <summary> 3         /// 删除当前树中的节点 4         /// </summary> 5         /// <param name="key"></param> 6         /// <returns></returns> 7         public void Remove(K key, V value) 8         { 9             node = Remove(key, value, node);10         }11         #endregion12 13         #region 删除当前树中的节点14         /// <summary>15         /// 删除当前树中的节点16         /// </summary>17         /// <param name="key"></param>18         /// <param name="tree"></param>19         /// <returns></returns>20         public BinaryNode<K, V> Remove(K key, V value, BinaryNode<K, V> tree)21         {22             if (tree == null)23                 return null;24 25             //左子树26             if (key.CompareTo(tree.key) < 0)27                 tree.left = Remove(key, value, tree.left);28 29             //右子树30             if (key.CompareTo(tree.key) > 0)31                 tree.right = Remove(key, value, tree.right);32 33             /*相等的情况*/34             if (key.CompareTo(tree.key) == 0)35             {36                 //判断里面的HashSet是否有多值37                 if (tree.attach.Count > 1)38                 {39                     //实现惰性删除40                     tree.attach.Remove(value);41                 }42                 else43                 {44                     //有两个孩子的情况45                     if (tree.left != null && tree.right != null)46                     {47                         //根据二叉树的中顺遍历，需要找到”有子树“的最小节点48                         tree.key = FindMin(tree.right).key;49 50                         //删除右子树的指定元素51                         tree.right = Remove(key, value, tree.right);52                     }53                     else54                     {55                         //单个孩子的情况56                         tree = tree.left == null ? tree.right : tree.left;57                     }58                 }59             }60 61             return tree;62         }