最大公约数和最小公倍数

如何求最大公约数

求最大公约数其实有很多方法，以下将介绍比较常见的三种：

• 分解质因数法
• 短除法
• 辗转相除法（欧几里德算法）

例如，求24和60的最大公约数。

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分解质因数法

该方法要先将两数分别分解质因数。怎样分解质因数，请见质因数分解页。

24 = 2 × 2 × 2 × 3
60 = 2 × 2 × 3 × 5

找出这两个数的公有质因数。

24 = 2 × 2 × 2 × 3
60 = 2 × 2 × 3 × 5

它们的公有质因数分别为2，2，3。24和60的最大公约数就是这几个公有质因数的乘积，也即2 × 2 × 3 = 12。

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短除法

首先用最小公约数去除这两个数。24和60的最小公约数是2

224 60 12 30

继续使用这种方法对所得到的商进行分解，直到所得到的商互质为止

224 60212 3036  15 2  5

将左边的数字连乘，所得到的乘积就是最大公约数。以上24和60的最大公约数就是2 × 2× 3 = 12。

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辗转相除法（欧几里德算法）

该方法就是通过将要寻找最大公约数的两个数字进行重复除法，直到最后得到余数为0

下面我们就用辗转相除法来找出24和60的最大公约数：

• 用两数种较小的数去除较大的数，这里我们就要用24除60，得到商为2，余数为12。
• 接下来用上一步所得到的余数去除较小的数，也即12除24，商为2，余数是0。
• 既然已经得到余数为0，那么最后一个除数12，就是我们要找的最大公约数。

下面我们再看一个例子：试找出40和64的最大公约数

• 64 ÷ 40 = 1 ⋯⋯ 24
• 40 ÷ 24 = 1 ⋯⋯ 16
• 24 ÷ 16 = 1 ⋯⋯ 8
• 16 ÷ 8 = 2 ⋯⋯ 0
• 得到余数为0就以为着我们算到这一步就可以了。我们使用的最后一个余数是8，因此40和64的最大公约数就是8。

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如何求最小公倍数

下面介绍几种比较常用的方法：

• 分解质因数法
• 短除法
• 公式法

例如，求24和60的最小公倍数。

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质因数分解

使用该方法寻找最小公倍数，先将这几个数字分解质因数并写成幂的形式。怎样分解质因数，请见质因数分解页。

24 = 2³ × 3
60 = 2² × 3 × 5

各质因数的最高次幂的乘积就是所要求的最小公倍数。因此，示例中24和60的最小公倍数就是2³ × 3 × 5 = 120。

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短除法

首先用最小公约数去除这两个数。24和60的最小公约数是2

224 60 12 30

继续使用这种方法对所得到的商进行分解，直到所得到的商互质为止

224 60212 3036  15 2  5

将所有的公约数及最后的商相乘，所得积就是最小公倍数。以上24和60的最小公倍数就是2 × 2 × 3 × 2 × 5 = 120。

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公式法

在已经算出整数a、b的最大公约数的基础上，我们可以通过下面的公式来求出它们的最小公倍数：

LCM(a,b) =a × bGCD(a,b)

回到刚才的例子，我们可以求得24和60的最小公倍数：

LCM(24,60) =24 × 60= 12012

当然，如果已经知道最小公倍数，你也可以运用这个方法算出最大公约数。

Jimmy Sie（著）
Amanda Huang（译）