Kalman Filter的推导与应用（一）

最近利用卡尔曼滤波来做tracking的东西，然后随手推导了一下。网上大都是只有例子源代码和约定俗成的公式，不太方便使用，毕竟不能保证你遇到的问题恰好能用现有模型来套。所以对滤波器的来由需要深刻地理解一下。

（一）Kalman Filter原理

定义1.1

由 m×1 维随机向量 y∈Rm 的线性函数估计 n×1 维随机变量 x∈Rn ，估计值记为

x^=b+Ay,b∈Rn,A∈Rn×m

若估计值极小化的指标函数为

J=E[(x−x^)T(x−x^)]

则称 x^ 为随机变量的线性最小方差估计。由观测值 y 求随机变量 x 的线性最小方差估计的表达式为

x^=E(x)+Cov(x,y)Var(y)−1(y−E(y))

虽然这个公式好像好难懂，不过暂时不需要完全理解它，后面在推导时可以慢慢领会。同时这个 x^ 有三个性质

（1）无偏性，E(x^)=E(x)

（2）正交性，E[(x−x^)yT]=0

（3）不相关性，x−x^ 与 y 不相关

定义1.2

x−x^ 与 y 不相关，那么等价于 x−x^ 与 y 正交（或者理解为垂直），记为 x−x^⊥y ，并且称x^为 x 在 y 上 的射影，记为x^=proj（x|y）

定义1.3

基于随机变量 y(1),y(2),...,y(k)∈Rm，对随机变量 x∈Rm 的线性最小方差估计 x^ 定义为

x^=proj(x|w)=proj(x|y(1),y(2),...,y(k))

也称 x^ 为 x 在线性流型 L(w) 或 L(y(1),y(2),...,y(k)) 上的射影。流型的概念不需要理解，因为后面推导不涉及对它的完全理解

定义1.4

设 y(1),y(2),...,y(k)∈Rm 是存在二阶矩的随机序列，它的新息序列（不用纠结名字，其实后面推导里它就是误差序列）定义为

ϵ(k)=y(k)−proj(y(k)|y(1),y(2),...,y(k−1)),k=1,2,...

并定义的一步最优预报估计值为

y^(k|k−1)=proj(y(k)|y(1),y(2),...,y(k−1))

因此新息序列可重新写成

ϵ(k)=y(k)−y^(k|k−1),k=1,2,...

需要规定 y^(1|0)=E[y(1)] ，这保证了E[ϵ(1)]=0，所以有ϵ(k)⊥L(y(1),y(2),...,y(k−1))

定义1.5

设随机变量 x∈Rn ，随机序列 y(k)∈Rm ，而且随机序列存在二阶矩，则有递推公式（证明以后再补好了(-｡-;)）

proj(x|y(1),y(2),...,y(k))=proj(x|y(1),y(2),...,y(k−1))+E[xϵT(k)]E[ϵ(k)ϵT(k)]−1ϵ(k)